Съдържание

НЕСФ 2015, 9. клас — Задача 3. Балон с въздух

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, тема за 9. клас · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Балон с топъл въздух е направен от неразтеглив материал с маса $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ (и с пренебрежим обем) и има постоянен обем $V = 1\ \mathrm{m^3}$ . Балонът има отвор и може да обменя въздух с околната среда. Температурата на околната среда е $t_0 = 20^{\circ}\ \mathrm{C}$ , атмосферното налягане е $P_0 = 10^5\ \mathrm{Pa}$ , а плътността на въздуха при тези условия е приблизително равна на $\rho_0 = 1\ \mathrm{kg/m^3}$ . Земното ускорение е $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Каква е минималната температура $t_1$ на въздуха в балона, такава че той да се отлепи от земята? [3 т.]

б) Балонът се завързва с въже към земята и въздухът в него се загрява до $t_2 = 150^{\circ}\mathrm{C}$ . Определете силата на опън на въжето $T$ . [3 т.]

в) Отворът на балона се затваря херметически (при температура $t_2 = 150^{\circ}$ ), така че плътността на въздуха в балона е константна. До каква височина ще се издигне балонът, след като се среже въжето? В процеса на издигане температурата на въздуха в балона остава неизменна. За малки височини $h$ можем да приемем, че атмосферата е изотермна ( $t_0 = 20^{\circ}\ \mathrm{C}$ навсякъде) и че плътността на въздуха $\rho(h)$ се изменя приблизително по закона $\rho(h) = \rho_0\left(1 - \dfrac{\rho_0}{P_0}gh\right)$ , където $g$ е земното ускорение. [4 т.]

Решение

а) Пълната маса на балона, включваща масата на материала $m$ и масата на загретия въздух с температура $t$ , трябва да е равна на масата на изместения от балона въздух с температура $t_0$ : $m + \rho_1V = \rho_0V$ , т.е. $\rho_1 = \rho_0 - \dfrac{m}{V}$ [1 т]. За температурата имаме връзката (налягането е константно) $\rho_1t_1 = \rho_0t_0$ (температурата е в единици Келвин) [1 т]. Така получаваме

t_1 = \frac{t_0}{1 - m/(\rho_0V)} \approx 93.25^{\circ}\ \mathrm{C}.

[1 т]

б) Пълната сила, която действа на балона в посока надолу, е $T + (m + \rho_2V)g$ [0.5 т], а тази, която действа нагоре, е $\rho_0Vg$ [0.5 т]. От равенството на силите получаваме $T = (\rho_0 - \rho_2)Vg - mg$ [0.5 т]. Аналогично на горната подточка имаме $\rho_0t_0 = \rho_2t_2$ [0.5 т]. Така получаваме

T = \rho_0Vg\left(1 - \frac{t_0}{t_2}\right) - mg \approx 1.05\ \mathrm{N}.

[1 т]

в) Аналогично на подточка а) намираме $m + \rho_2^{\prime}V = \rho_0^{\prime}V$ , където $\rho_0^{\prime}$ и $\rho_2^{\prime}$ са съответно плътностите на въздуха извън и в балона на височина $h$ . Така намираме, че балонът ще се издига, докато плътността на околния въздух стане $\rho_0^{\prime} = \rho_2^{\prime} + \dfrac{m}{V}$ [1 т]. Тъй като балонът е затворен, имаме $\rho_2^{\prime} = \rho_2 = \rho_0\dfrac{t_0}{t_2}$ [1 т]. Също имаме $\rho_0^{\prime} = \rho(h) = \rho_0\left(1 - \dfrac{\rho_0}{P_0}gh\right)$ [1 т]. Така получаваме

h = \left(1 - \frac{t_0}{t_2} - \frac{m}{\rho_0V}\right)\frac{P_0}{\rho_0g} \approx 1095\ \mathrm{m}.

[1 т]

Оригинал в Архива: esenni_2015_9problems.pdf · официални решения: esenni_2015_9solutions.pdf