НЕСФ 2015, Специална тема — Задача 1. Монте Карло симулация на Брауново движение

Национално есенно състезание по физика 2015, Велико Търново — Специална тема · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Брауновото движение е хаотичното движение на макрочастица от твърдо вещество (с размери от порядъка на микрометър) под действие на некомпенсираните удари от страна на околните атоми или молекули на газа или течността, в която тя е потопена. През 1905 г. Айнщайн е получил, че средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ на една частица е пропорционално на времето, за което то е измерено, на някаква степен $\kappa$, т.е. $\sqrt{\overline{l^2}} = c.t^{k}$. Константата $c$ зависи от температурата на средата, радиуса на частицата и вискозитета на газа или течността. Средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ се дефинира така: $\sqrt{\overline{l^2}} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} l_i^{\,2}}{N}}$, където $l_i$ е преместването при $i$-тото измерване, а $N$ е броят на измерванията.

Тук ще намерите опитно неизвестната степен $\kappa$ като използвате т. нар. Монте Карло симулация. За целта ще изследвате случайното движение на обект по възлите на една квадратна решетка и ще получите как зависи средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ от броя стъпки $m$ (в този модел $m$ има смисъл на времето). Разполагате с квадратна решетка (на отделен лист), обект (стотинка или пионка), зарче и чашка, в която да го хвърляте. Тръгвате всеки път от центъра на решетката $(0,0)$. На всяко хвърляне на зарчето правите случаен ход (нагоре, надолу, наляво или надясно) до съседен възел.

а) Опишете как избирате да превръщате показанието на зарчето в посока (нагоре, надолу, наляво или надясно)? [1 т.]

б) Хвърляйки зарчето извършете 10 последователни случайни хода с обекта като записвате всичките му 10 положения. Повторете това 10 пъти. Нанесете резултатите в предоставената ви таблица. Предварително помислете как да ги нанесете, за да ги обработвате после най-лесно (разполагате само с една резервна таблица). [3 т.]

в) Пресметнете средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}$ за всяка стойност $m$ на броя стъпки ($m$ = 1, 2, 3,..., 10). Табулирайте тази зависимост отделно. [1 т.]

г) Ако предположите, че зависимостта $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = f(m)$ е от типа $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = c.m^{k}$, начертайте графиката на тази зависимост, използвайки такива променливи, че лесно да намерите графично неизвестната степен $\kappa$ и константата $c$. Разстоянието между съседни възли приемете за единица. [3 т.]

д) Изчислете от графиката неизвестната степен $\kappa$. [1,5 т.]

е) Изчислете от графиката константата $c$. [0,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2015_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2015_STsolutions.pdf