Съдържание

НЕСФ 2015, Специална тема — Задача 1. Монте Карло симулация на Брауново движение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, Велико Търново — Специална тема · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Брауновото движение е хаотичното движение на макрочастица от твърдо вещество (с размери от порядъка на микрометър) под действие на некомпенсираните удари от страна на околните атоми или молекули на газа или течността, в която тя е потопена. През 1905 г. Айнщайн е получил, че средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ на една частица е пропорционално на времето, за което то е измерено, на някаква степен $\kappa$ , т.е. $\sqrt{\overline{l^2}} = c.t^{k}$ . Константата $c$ зависи от температурата на средата, радиуса на частицата и вискозитета на газа или течността. Средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ се дефинира така: $\sqrt{\overline{l^2}} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} l_i^{\,2}}{N}}$ , където $l_i$ е преместването при $i$ -тото измерване, а $N$ е броят на измерванията.

Тук ще намерите опитно неизвестната степен $\kappa$ като използвате т. нар. Монте Карло симулация. За целта ще изследвате случайното движение на обект по възлите на една квадратна решетка и ще получите как зависи средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l^2}}$ от броя стъпки $m$ (в този модел $m$ има смисъл на времето). Разполагате с квадратна решетка (на отделен лист), обект (стотинка или пионка), зарче и чашка, в която да го хвърляте. Тръгвате всеки път от центъра на решетката $(0,0)$ . На всяко хвърляне на зарчето правите случаен ход (нагоре, надолу, наляво или надясно) до съседен възел.

Квадратна координатна решетка от −10 до 10 по двете оси с отбелязани възли. — Квадратната решетка към Задача 1 (отделен лист от темата).

а) Опишете как избирате да превръщате показанието на зарчето в посока (нагоре, надолу, наляво или надясно)? [1 т.]

б) Хвърляйки зарчето извършете 10 последователни случайни хода с обекта като записвате всичките му 10 положения. Повторете това 10 пъти. Нанесете резултатите в предоставената ви таблица. Предварително помислете как да ги нанесете, за да ги обработвате после най-лесно (разполагате само с една резервна таблица). [3 т.]

в) Пресметнете средноквадратичното преместване $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}$ за всяка стойност $m$ на броя стъпки ( $m$ = 1, 2, 3,..., 10). Табулирайте тази зависимост отделно. [1 т.]

г) Ако предположите, че зависимостта $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = f(m)$ е от типа $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = c.m^{k}$ , начертайте графиката на тази зависимост, използвайки такива променливи, че лесно да намерите графично неизвестната степен $\kappa$ и константата $c$ . Разстоянието между съседни възли приемете за единица. [3 т.]

д) Изчислете от графиката неизвестната степен $\kappa$ . [1,5 т.]

е) Изчислете от графиката константата $c$ . [0,5 т.]

Отговори

Решение

а) Възможен вариант: показание на зарчето – посока на движение; 1 – нагоре, 2 – надясно, 3 – надолу, 4 – наляво, при 5 и 6 се хвърля наново. [1 т.]

б) Примерни данни са дадени в таблицата. [3 т.]

в) Зависимостта на $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}$ от броя стъпки $m$ също е дадена в таблицата. [1 т.]

г) Ако зависимостта $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = f(m)$ е от типа $\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}} = c.m^{k}$ , начертавайки графиката ѝ в двойно-логаритмичен мащаб $\lg\left(\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}\right) = \lg(c) + k.\lg(m)$ , тя ще е линейна функция с наклон $k$ и свободен член $\lg(c)$ . Представените данни са начертани на фигурата. [3 т.]

д) От графиката за неизвестната степен се изчислява $\kappa = 0{,}47$ . За Брауновото движение теорията предсказва $\kappa = 0{,}5$ . [1.5 т.]

е) От графиката $\lg(c) = 0$ , следователно константата $c = 1$ . [0.5 т.]

Графика на $\lg\langle l\rangle$ срещу $\lg m$ с десет точки и права с наклон 0,47. — Примерните данни в двойно-логаритмичен мащаб; наклонът на правата е $k = 0{,}47$ .

Примерните данни от таблицата (първи пет серии):

$N_{1i}$	$x_i,y_i$	$l_{1i}^{2}$	$N_{2i}$	$x_i,y_i$	$l_{2i}^{2}$	$N_{3i}$	$x_i,y_i$	$l_{3i}^{2}$	$N_{4i}$	$x_i,y_i$	$l_{4i}^{2}$	$N_{5i}$	$x_i,y_i$	$l_{5i}^{2}$	$m$	$\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}$
1	1,0	1	1	0,0	0	1	0,-1	1	1	0,0	0	1	1,0	1	1	1.00
2	-1,0	1	2	0,0	0	2	-1,0	1	2	0,0	0	2	-1,0	1	2	1.26
3	1,0	1	3	1,1	2	3	2,1	5	3	2,2	8	3	2,3	13	3	1.73
4	0,-1	1	4	0,0	0	4	0,-1	1	4	-1,-1	2	4	-1,0	1	4	2.00
5	-1,0	1	5	-2,0	4	5	-2,1	5	5	-2,0	4	5	-2,-1	5	5	2.14
6	0,-1	1	6	-1,-1	2	6	-2,-1	5	6	-2,-2	8	6	-3,-2	13	6	2.14
7	-1,0	1	7	0,0	0	7	1,0	1	7	0,0	0	7	0,1	1	7	2.49
8	-1,0	1	8	-1,-1	2	8	-1,0	1	8	-2,0	4	8	-1,0	1	8	2.53
9	0,1	1	9	0,2	4	9	-1,2	5	9	-1,3	10	9	0,3	9	9	3.00
10	0,1	1	10	-1,1	2	10	-1,2	5	10	0,2	4	10	0,1	1	10	3.00
	$\overline{l_1^{\,2}} = 1{,}0$			$\overline{l_2^{\,2}} = 1{,}6$			$\overline{l_3^{\,2}} = 3{,}0$			$\overline{l_4^{\,2}} = 4{,}0$			$\overline{l_5^{\,2}} = 4{,}6$

и вторите пет серии:

$N_{6i}$	$x_i,y_i$	$l_{6i}^{2}$	$N_{7i}$	$x_i,y_i$	$l_{7i}^{2}$	$N_{8i}$	$x_i,y_i$	$l_{8i}^{2}$	$N_{9i}$	$x_i,y_i$	$l_{9i}^{2}$	$N_{10i}$	$x_i,y_i$	$l_{10i}^{2}$	$\lg m$	$\lg\sqrt{\overline{l_m^{\,2}}}$
1	1,-1	2	1	0,-1	1	1	1,-1	2	1	1,0	1	1	2,0	4	0.000	0.000
2	-1,1	2	2	-1,0	1	2	0,0	0	2	0,1	1	2	0,0	0	0.301	0.100
3	1,3	10	3	1,4	17	3	1,5	26	3	1,6	37	3	1,7	50	0.477	0.238
4	0,0	0	4	1,0	1	4	2,0	4	4	2,1	5	4	1,1	2	0.602	0.301
5	-1,-1	2	5	-1,0	1	5	-1,-1	2	5	-2,-1	5	5	-1,-1	2	0.700	0.330
6	-3,1	10	6	-4,1	17	6	-3,-1	10	6	-3,-2	13	6	-3,-1	10	0.778	0.330
7	-1,1	2	7	-1,0	1	7	-1,1	2	7	0,1	1	7	0,0	0	0.845	0.396
8	0,0	0	8	1,0	1	8	0,0	0	8	1,0	1	8	1,-1	2	0.903	0.403
9	0,4	16	9	1,4	17	9	0,4	16	9	-1,4	17	9	-1,3	10	0.954	0.477
10	1,1	2	10	2,1	5	10	2,0	4	10	3,0	9	10	3,-1	10	1.000	0.477
	$\overline{l_6^{\,2}} = 4{,}6$			$\overline{l_7^{\,2}} = 6{,}2$			$\overline{l_8^{\,2}} = 6{,}4$			$\overline{l_9^{\,2}} = 9{,}0$			$\overline{l_{10}^{\,2}} = 9{,}0$

Оригинал в Архива: esenni_2015_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2015_STsolutions.pdf