НЕСФ 2015, Специална тема — Задача 3. Стояща електромагнитна вълна и микровълнова печка

Национално есенно състезание по физика 2015, Велико Търново — Специална тема · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

(Задачата се състои от две независими подусловия)

А. Стояща електромагнитна вълна

Известно е, че в свободно пространство (вакуум) плоската бягаща електромагнитна вълна е напречна, векторите на посоката на разпространение, на интензитета на електричното поле и на индукцията на магнитното поле образуват дясна тройка и последните два вектора трептят във фаза. Амплитудите им са свързани така: $E_0 = cB_0$ , където $c = 3.10^{8}$ m/s е скоростта на светлината. Ако обаче една бягаща вълна пада перпендикулярно върху метал (идеален проводник), тя се отразява напълно и в обратна посока започва да се разпространява втора бягаща вълна. Тези две бягащи в противоположни посоки вълни образуват стояща вълна. От факта, че отразяващата повърхност е проводяща, следва че тангенциалната компонента на вектора на интензитета на електричното поле на границата вакуум-метал трябва да е нула (това са т. нар. гранични условия). Това налага характерни ограничения върху разпределението на електричното и магнитното поле на възникващата стояща вълна.

Нека надясно към границата вакуум-метал се разпространява плоска бягаща линейно-поляризирана монохроматична вълна с интензитет на електричното поле $\overrightarrow{E_1} = (E_{1x},0,0)$, $E_{1x} = E_{10}\cos(kz + \omega t + \varphi)$, където $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ , $\omega = 2\pi\nu$ , $\lambda$ – дължина на вълната, $\nu$ – честота на вълната. Изразете чрез дадените параметри $E_{10}$, $k$, $\omega$ и $\varphi$:

Полезна математика: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$; $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ ; $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

А. а) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_1}$ на падащата вълна [0,5 т.]

А. б) вектора на интензитета на електричното поле $\overrightarrow{E_2}$ на отразената вълна [0,5 т.]

А. в) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_2}$ на отразената вълна [0,5 т.]

А. г) вектора на интензитета на електричното поле $\overrightarrow{E_3}$ на стоящата вълна [1 т.]

А. д) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_3}$ на стоящата вълна [1 т.]

А. е) Къде се намират възлите на електричното и на магнитното поле на стоящата вълна? [0,5 т.]

А. ж) Колко е стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време, когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е максимална? [0,5 т.]

А. з) Колко е стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време, когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е нула? [0,5 т.]

Б) Б) Микровълнова печка.

В куха метална правоъгълна призма, каквато е пещта на микровълновата печка, могат да съществуват различни стоящи електромагнитни вълни с различно разпределение на техните електрични и магнитни полета. По-нататък ще описваме само електричното им поле. Нека размерите на пещта са $a = 29$ cm (по $x$), $b = 29$ cm (по $y$) и $h = 19$ cm (по $z$). Центърът на координатната система е избран в единия от ъглите на пещта. Граничните условия налагат ограничения върху разпределението на електричното поле и за стояща електромагнитна вълна то трябва да има следния вид:

$\vec E = \left(E_x, E_y, E_z\right),$

$E_x = E_{0x}\cos\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\sin\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi),$

$E_y = E_{0y}\sin\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\sin\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi),$

$E_z = E_{0z}\sin\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\cos\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi).$

Числата $m$, $n$ и $l$ са цели, а $\omega = 2\pi\nu$. Съответно тази стояща вълна се нарича мод $(m,n,l)$. Резонансната честота $\nu$ и числата $m$, $n$ и $l$ трябва да удовлетворяват следното равенство

$\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{l}{h}\right)^2 = 4\left(\frac{\nu}{c}\right)^2$

Б. а) Кой мод $(m,n,l)$ има минимална честота $\nu$? [0.5 т.] Изчислете нейната стойност. [0.5 т.] Опишете (или нарисувайте) разпределението на електричното поле в този мод. [1,5 т.]

Б. б) Източникът на микровълновото лъчение в микровълновата печка е магнетрон, излъчващ електромагнитна вълна с честота $\nu$ = 2,450 GHz. Намерете модовете $(m,n,l)$, чиито резонансни честоти лежат в интервала (2,400 GHz, 2,500 GHz) и изчислете тези честоти с точност 5 знака. [2 т.] Кой от тях има честота, най-близка до тази на магнетрона (т.е. е най-вероятно този мод да се възбуди в пещта)? [2,5 т.]

Б. в) Опитът на Винер показва, че стоящата електромагнитна вълна отдава своята енергия на поглъщащо вещество най-много там, където са върховете на нейното електрично поле. Ако в микровълновата печка се е възбудил само модът с честота, най-близка до тази на магнетрона и неговото електрично поле е от типа $\vec E = (0,0,E_z)$, къде трябва да поставим тънка пица, за да се стопли най-бързо? [0.5 т.] Къде ще се стопли най-бавно? [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2015_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2015_STsolutions.pdf