Съдържание

НЕСФ 2016, 10. клас — Задача 2. Газ в цилиндър под подвижно бутало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Тема 10. клас · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

В топлоизолиран цилиндър под тежко подвижно бутало с маса $M$ се намира идеален газ с температура $T_0$ . Буталото е на височина $h_0$ над основата на цилиндъра. Върху буталото допълнително се поставя тяло с маса $M$ и газът в цилиндъра се свива. След като буталото остане неподвижно, допълнителното тяло се маха от подвижното бутало. То се издига нагоре и след известно време остава неподвижно.

Вътрешната енергия на газа се дава с израза $U = (3/2)BT$ , $B$ е газовата константа.

а) Намерете максималната температура $T_m$ на газа. [6,5 т.]

б) Определете крайната температура $T$ на газа. [2,5 т.]

в) Изразете крайната височина $h$ на буталото над основата на цилиндъра чрез началната височина $h_0$ . [1 т.]

Отговори

Решение

а) Съгласно с първия принцип на термодинамиката

\Delta U = A + Q

[0,5 т.]

при свиването на газа $Q = 0,\ A > 0$ . [0,5 т.] Тогава $\Delta U > 0$ . [0,5 т.] Тъй като вътрешната енергия зависи само от температурата, при свиването на газа температурата ще се повишава. В най-ниско положение на буталото газът ще има максимална температура $T_m$ . Началното състояние на топлинно равновесие на газа се характеризира с

p_0 = \frac{Mg}{S}, \quad V_0 = Sh_0 \ \Rightarrow \ p_0 V_0 = BT_0,

[1,5 т.]

т.е. уравнението на състояние има вида $Mgh_0 = BT_0$ . [0,5 т.] Аналогично, в най-ниско положение на буталото имаме

2Mgh_m = BT_m.

[0,5 т.]

Външната сила $F = 2Mg$ е постоянна [0,5 т.] и извършената от нея работа при свиването на газа е

A = -p_m \Delta V = -\frac{2Mg}{S}\left(Sh_m - Sh_0\right) = 2Mg(h_0 - h_m) = 2BT_0\left(1 - \frac{T_m}{2T_0}\right).

[1 т.]

От друга страна имаме

\Delta U = \frac{3}{2} B(T_m - T_0) = \frac{3}{2} BT_0\left(\frac{T_m}{T_0} - 1\right).

[0,5 т.]

От приравняването на последните два израза намираме

T_m = \frac{7}{5} T_0 = 1{,}4 T_0.

[0,5 т.]

б) Аналогично при разширението на газа имаме

2Mgh_m = BT_m, \qquad Mgh = BT, \qquad \Delta U = \frac{3}{2} B(T - T_m) = \frac{3BT_m}{2}\left(\frac{T}{T_m} - 1\right),

[1,5 т.]

A = -p_0 \Delta V = -\frac{Mg}{S}\left(Sh - Sh_m\right) = \frac{BT_m}{2}\left(1 - 2\frac{T}{T_m}\right),

[0,5 т.]

при което намираме

T = \frac{4}{5} T_m = \frac{28}{25} T_0 = 1{,}12\, T_0.

[0,5 т.]

в) От уравнението на състояние на газа следва

\frac{h}{h_0} = \frac{T}{T_0} \ \Rightarrow \ h = \frac{28}{25} h_0 = 1{,}12\, h_0.

[1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_10problems.pdf · официални решения: esenni_2016_10solutions.pdf