Съдържание

НЕСФ 2016, 11–12 клас — Задача 2. Електричество

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25-27 ноември 2016 година — Тема за възрастова група 11-12. клас · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 2 а са показани 12 проводника, формиращи куб. Върховете на куба са означени с цифрите от 1 до 8. Проводниците имат следните съпротивления: $R_{12} = R_{14} = R_{15} = 1\ \Omega$ , $R_{23} = R_{47} = R_{56} = 12\ \Omega$ , $R_{26} = R_{34} = R_{57} = 8\ \Omega$ , $R_{38} = R_{68} = R_{78} = 3\ \Omega$ . Батерия с напрежение $U = 12$ волта е свързана към точки 1 и 8. Намерете:

а) съпротивлението между точки 1 и 8; [3 т.]

б) отделената топлина за единица време от веригата; [1 т.]

в) тока във всеки проводник. [3 т.]

Част от проводниците са заменени с еднакви кондензатори с капацитет $C = 15\ \mathrm{mF}$ , както е показано на фиг. 2 б. Намерете:

г) заряда и електростатичната енергия на всеки кондензатор, след като във веригата се установи постоянен ток. [3 т.]

Упътване: Точки с равни потенциали могат да се свържат с проводник с нулево съпротивление

Решение

а) Поради симетрията в схемата, имаме точки с равен потенциал, съответно 2, 4, 5 и 3, 6, 7. Свързваме ги мислено с проводник и чертаем еквивалентна схема, показана на фиг. 3 а):

[2 т.] за фиг. 3а)

Така за търсеното съпротивление получаваме

R = \frac{1}{1+1+1} + \frac{1}{3/8+3/12} + \frac{1}{1/3+1/3+1/3} = \frac{44}{15}\ \Omega \approx 2.93\ \Omega.

[1 т.]

б) За отделената топлина получаваме $P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{540}{11}W \approx 49.1\ \mathrm{W}$ . [1 т.]

в) Първо намираме пълния ток:

I = \frac{U}{R} = \frac{45}{11}A \approx 4.1\ \mathrm{A}.

[1 т.]

Използваме схемата от фиг. 3 а), за да определим тока във всеки клон на веригата. За да намерим токовете в 6-те успоредно свързани съпротивления, намираме напрежението между точки 2 и 6, $U_{26} = \dfrac{1}{3/8+3/12}I = \dfrac{8}{5}I$ . Така например за $I_{26}$ намираме: $I_{26} = U_{26}/8 = I/5 = 9/11 \approx 0.81\ \mathrm{A}$ .

Токовете са:

I_{12} = I_{14} = I_{15} = I/3 \approx 1.36\ \mathrm{A},

[0.5 т.]

I_{26} = I_{34} = I_{57} = I/5 \approx 0.81\ \mathrm{A},

[0.5 т.]

I_{23} = I_{47} = I_{56} = 2I/15 \approx 0.55\ \mathrm{A},

[0.5 т.]

I_{38} = I_{68} = I_{78} = I/3 \approx 1.36\ \mathrm{A}

[0.5 т.]

г) След достатъчно време през кондензаторите няма да тече ток. Сегментът с 6 успоредно свързани резистора от фиг. 3 а) се редуцира до 3 успоредно свързани резистора със съпротивление $8\ \Omega$ . Новото еквивалентно съпротивление е

R_2 = \frac{1}{1+1+1} + \frac{1}{3/8} + \frac{1}{1/3+1/3+1/3} = 4\ \Omega.

[1 т.]

Токът през веригата вече е

I = \frac{U}{R_2} = 3\ \mathrm{A}.

[0.5 т.]

Трите клона, по които тече ток, са идентични и провеждат 1/3 от общия ток, т.е. 1 A, поради което напрежението върху всеки кондензатор е $U_C = (1A)(8\Omega) = 8\ \mathrm{V}$ . [0.5 т.]

За зарядите получаваме

Q = CU_C = (15mF)(8V) = 120\ \mathrm{mC}.

[0.5 т.]

За електростатичната енергия на всеки кондензатор получаваме

W = \frac{CU_C^2}{2} = 480\ \mathrm{mJ}.

[0.5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2016_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: 11-12.pdf