Съдържание

НЕСФ 2016, 11–12 клас — Задача 3. Оптика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25-27 ноември 2016 година — Тема за възрастова група 11-12. клас · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

Част 1

Крушка с мощност $P_1$ свети с нажежаема жичка, която представлява цилиндър с дължина $L_1$ и радиус $r_1$ . Трябва да се изработи нова крушка с цилиндрична жичка от същия материал, която има същото работно напрежение, излъчва светлина с идентично спектрално разпределение, но има мощност $nP_1$ .

а) Какви са дължината $L_2$ и радиусът $r_2$ на новата жичка? [4 т.]

Упътване: Приемете, че температурата е равномерно разпределена по обема на жичката и че жичката не излъчва от двата си края (сеченията).

Част 2

Слънчевата константа $k$ характеризира количеството слънчева радиация, което попада на перпендикулярна на слънчевите лъчи повърхност с площ $1\ \mathrm{m^2}$ за време 1 секунда на разстояние 1 AU (средното разстояние между Земята и Слънцето). Стойността ѝ е приблизително $k = 1300\ \mathrm{W/m^2}$ . Намерете:

б) с каква мощност $P$ излъчва Слънцето? [2 т.]

в) каква част от Слънчевата маса, $\Delta M / M_\odot$ , се превръща в радиация, като приемете, че Слънцето свети $T_\odot \approx 10^9$ години и има маса $M_\odot \approx 2\times 10^{30}\ \mathrm{kg}$ ? [2 т.]

Звездната величина е астрономическа мярка за яркостта на небесните обекти. Слънцето има звездна величина $m_\odot \approx -27$ , а обекти със звездна величина 6 се считат за невидими за невъоръжено човешко око. Звездната величина се пресмята по следната формула

m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right),

където $I_1$ и $I_2$ са интензитетите в две различни точки от пространството (мерени във $\mathrm{W/m^2}$ ), а $m_1$ и $m_2$ са съответните звездни величини.

г) Намерете на какво разстояние в единици AU трябва да се отдалечим от Слънцето, за да не го виждаме? [2 т.]

Упътване: 1 AU = 1.5 $10^8$ km. Приемете, че Земната атмосфера не поглъща светлина. Скоростта на светлината във вакуум е $c = 3\times 10^8\ \mathrm{m/s}$ .

Решение

Част 1

а) Тъй като излъчената светлина е с идентично спектрално разпределение, температурата на новата жичка е равна на температурата на старата. За мощностите имаме

P_1 = 2\pi r_1L_1\sigma T^4,\qquad P_2 = 2\pi r_2L_2\sigma T^4.

[1 т.]

За първата крушка имаме $P_1 = \dfrac{U^2}{R_1}$ и $R_1 = \rho\dfrac{L_1}{\pi r_1^2}$ , откъдето $P_1 = \dfrac{U^2}{\rho L_1}\pi r_1^2$ [1 т.]. Аналогично за втората крушка имаме $P_2 = \dfrac{U^2}{\rho L_2}\pi r_2^2$ (работните напрежения $U$ по условие са равни).

Тъй като по условие имаме $P_2 = nP_1$ , от първата система получаваме $nr_1L_1 = r_2L_2$ [0.5 т.], а от втората $n\dfrac{r_1^2}{L_1} = \dfrac{r_2^2}{L_2}$ . [0.5 т.] От тези две уравнения окончателно получаваме

r_2 = n^{2/3}r_1,\qquad L_2 = n^{1/3}L_1.

[1 т.]

Част 2

б) За мощността имаме $P = 4\pi R^2k$ [1 т.], откъдето $P \approx 3.7\times 10^{26}\ \mathrm{W}$ . [1 т.]

в) За единица време $\Delta t$ маса $\Delta m$ се превръща в радиация с енергия $\Delta E = \Delta mc^2$ [0.5 т.], където $c$ е скоростта на светлината във вакуум. Така намираме $P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t} = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}c^2$ [0.5 т.], откъдето

\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{P}{c^2} \approx 4\times 10^{9}\ \mathrm{kg/s}.

[0.5 т.]

Пълната маса, превърната в радиация, е $\Delta M = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}T_\odot$ и търсеното съотношение е

\frac{\Delta M}{M_\odot} = \frac{\Delta m}{M_\odot}\frac{T_\odot}{\Delta t} \approx 6\times 10^{-5}.

[0.5 т.]

г) Имаме

I_1 = \frac{P}{4\pi R_1^2},\qquad I_2 = \frac{P}{4\pi R_2^2}.

[0.5 т.]

Избираме $R_1 = 1$ AU, а $R_2$ е търсеното разстояние. Заместваме във формулата от условие в), откъдето получаваме

m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = -5\log_{10}\left(\frac{R_2}{R_1}\right)

[0.5 т.],

преобразуваме и получаваме $\dfrac{R_2}{R_1} = 10^{-5(m_1-m_2)}$ [0.5 т.]. След като заместим $m_1 = -27$ и $m_2 = 6$ , получаваме

R_2 \approx 4\times 10^{6}\ \mathrm{AU}.

[0.5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2016_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: 11-12.pdf