Съдържание

НЕСФ 2016, 11–12 клас — Задача 1. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25-27 ноември 2016 година — Тема за възрастова група 11-12. клас · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

Количка с маса $m$ е поставена върху повърхност, както е показано на фиг. 1. Повърхността се състои от хоризонтална и наклонена под ъгъл $\alpha = 45^0$ равнини. Духа вятър, който действа на количката с постоянна сила $F$ в хоризонтално направление. Земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Разстоянието между количката и началото на наклонената повърхност е $L = 1\ \mathrm{m}$ . Намерете числен и аналитичен израз за:

Фиг. 1. Количката и наклонената равнина.

а) началната скорост $V_0$ , която трябва да се придаде на количката, така че тя да се качи по склона на височина $H = 1\ \mathrm{m}$ при $F = 5\ \mathrm{N}$ и $m = 2\ \mathrm{kg}$ ; [3 т.]

б) скоростта на количката $V_2$ , когато тя достига до основата на наклонената равнина преди изкачването; [2 т.]

в) максималното разстояние $L_{\max}$ , до което се връща количката назад по хоризонталната равнина след спускане; [2 т.]

г) времето $\tau$ , за което количката достига максималната височина. [3 т.]

Забележка: Приемете, че триенето в системата, размерите на количката и инерчният момент на колелата са пренебрежими.

Решение

а) Тъй като отсъстват сили на триене, промяната на кинетичната енергия на количката е следствие извършената работа от страна на гравитационната сила $mg$ и силата на вятъра $F$ :

\frac{mV_0^2}{2} = mgH - F\left(L + \frac{H}{\tan\alpha}\right).

[2 т.]

Така намираме

V_0 = \sqrt{2gH - \frac{2F}{m}\left(L + \frac{H}{\tan\alpha}\right)},

[0.5 т.]

V_0 = \sqrt{10}\ \mathrm{m/s}.

[0.5 т.]

б) По аналогичен начин намираме и скоростта на количката, когато тя достига до основата:

\frac{mV_0^2}{2} + FL = \frac{mV_2^2}{2}.

[1 т.]

Така намираме

V_2 = \sqrt{V_0^2 + \frac{2FL}{m}},

[0.5 т.]

V_2 = \sqrt{15}\ \mathrm{m/s}.

[0.5 т.]

в) Отново по аналогичен начин намираме и максималното разстояние:

\frac{mV_0^2}{2} = F\left(L_{\max} - L\right),

[1 т.]

откъдето получаваме

L_{\max} = L + \frac{mV_0^2}{2F},

[0.5 т.]

L_{\max} = 3\ \mathrm{m}.

[0.5 т.]

г) Първи начин:

Имаме $T = T_1 + T_2$ , където $T_1$ е времето за достигане до основата, а $T_2$ е времето за достигане на височината $H$ . През първия етап количката се движи с ускорение $a = F/m$ [0.5 т.] насочено надясно. Така имаме

L = V_0T_1 + \frac{F}{2m}T_1^2.

[0.5 т.]

Получаваме

T_1 = \frac{-V_0 + \sqrt{V_0^2 + 2FL/m}}{F/m},

T_1 = \frac{2}{5}\left(\sqrt{15} - \sqrt{10}\right) \approx 0.284\ \mathrm{s}.

[0.5 т.]

По време на втория етап количката се движи равнозакъснително с ускорение

a_2 = g\sin\alpha - \frac{F}{m}\cos\alpha = -15/\left(2\sqrt{2}\right) \approx -5.3\ \mathrm{m/s^2},

[0.5 т.]

като изминава път $L_2 = H/\sin\alpha$ . Аналогично на предната подточка намираме

T_2 = \frac{-V_2 + \sqrt{V_2^2 + 2a_2L_2}}{a}\quad\text{и}\quad T_2 \approx 0.730\ \mathrm{s}.

[0.5 т.]

Така получаваме $T \approx 1.01\ \mathrm{s}$ . [0.5 т.]

Втори начин:

Формулата $L = V_0T_1 + \dfrac{a}{2}T_1^2$ може да се напише като $L = \left(\dfrac{V_0 + V_2}{2}\right)T_1$ [1 т.], като се използва, че $V_2 - V_0 = aT_1$ . Така намираме $T_1 = \dfrac{2L}{V_0 + V_2}$ [1 т.]. Аналогично намираме и $T_2 = \dfrac{2H/\sin\alpha}{V_2}$ [1 т.].

Оригинал в Архива: esenni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2016_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: 11-12.pdf