НЕСФ 2016, Специална тема — Задача 1. Планета с ядро

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Специална тема · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

Хипотетична планета е съставена от ядро с неизвестна плътност $\rho_2$ и радиус $r_2 = 3500\ \mathrm{km}$ и външен слой („мантия“) с плътност $\rho_1 = 4{,}50\ \mathrm{g/cm^3}$. Радиусът на планетата е $r_1 = 6400\ \mathrm{km}$. Ускорението на свободно падане на повърхността й е $g(r_1) = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.

Механична вълна, когато преминава през границата между две среди, се пречупва. Законът за пречупването е същият като законът на Снелиус за светлината: $\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \dfrac{v_1}{v_2}$ , където $\alpha_1$ и $v_1$ са ъгълът на падане и скоростта на разпространение на вълната в първата среда, а $\alpha_2$ и $v_2$ са ъгълът на пречупване и скоростта на разпространение на вълната във втората среда. За простота по-нататък ще се разглеждат само един тип механични (сеизмични) вълни – надлъжни. Наличието на всякакви отразени вълни се пренебрегва. Скоростта на разпространение на сеизмичната вълна в мантията е $v_1 = 12\ \mathrm{km/s}$, а в ядрото – $v_2 = 9\ \mathrm{km/s}$. Нека т. N е северният полюс на планетата и е епицентър на планетотресение (център на сеизмичен взрив), а т. C – центърът на планетата. Нека т. X е точка от повърхността на планетата, която сеизмичната вълна достига, тръгвайки от N и преминавайки през вътрешността на планетата. Ъгълът NCX бележим с $\varphi$, а ъгълът между NC и посоката на разпространение на вълната, тръгнала от N – с $\gamma$.

а) Изчислете плътността $\rho_2$ на ядрото й. [1 т.] [1 т.]

б) Получете формула за ускорението $g(r)$ на свободно падане за разстояния от центъра на планетата $r \le r_2$ . [0,5 т.] Колко е стойността на ускорението $g(r_2)$? [0,5 т.] [1 т.]

в) Оказва се, че при някакво разстояние $r_x \in (r_2, r_1)$, ускорението $g(r)$ има локален минимум. Изчислете $r_x$ и $g(r_x)$. [2 т.] [2 т.]

г) Изчислете приближено налягането $p(0)$ в центъра на планетата (в единици atm). За целта приемете, че ядрото и мантията могат да се разглеждат като флуиди, налягането на атмосферата на планетата е пренебрежимо малко ($p(r_1) \approx 0$) и ускорението на свободно падане в мантията е постоянно, $g(r) = 10\ \mathrm{m/s^2}$ за $r \in (r_2, r_1)$. [1,5 т.] [1,5 т.]

д) Намерете интервала от ъгли $\varphi$, съответстващи на точки X, които вълната достига, без да преминава през ядрото. [0,5 т.] [0,5 т.]

е) Получете зависимостта $\varphi = f(\gamma)$ за вълни, преминали през ядрото. [2 т.] [2 т.]

ж) Изследвайки числено функцията $\varphi = f(\gamma)$, получете интервала от ъгли $\varphi$ за точки X, където не пристигат никакви вълни (мястото на сеизмична сянка) [0,5 т.], интервала от ъгли $\varphi$, където пристигат 2 вълни [1 т.] и интервала от ъгли $\varphi$, където пристигат 3 вълни. [0,5 т.] Ъглите $\varphi$ представете в градуси и ги изчислете с точност $0{,}1^\circ$. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2016_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2016_STsolutions.pdf