НЕСФ 2016, Специална тема — Задача 3. Изстиващ балон

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Специална тема · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

s мола идеален газ се намират в сферичен балон. Балонът се намира във вакуум с нулева температура и притежава такива еластични свойства, че радисът му r и налягането p на газа в него са свързани с равенството $p = \dfrac{a}{r}$ , където $a$ е някаква константа. Зависимостта на налягането p в балона от обема му V се описва от закона $p.V^n = const$.

---

Полезна математика и фундаментални константи:

Гравитационна константа G = $6{,}67.10^{-11}$ N.m$^2$/kg$^2$

1 atm = $10^5$ Pa

Синусова теорема: В триъгълник със страни a , b, c и ъгли срещу тези страни $\alpha, \beta, \gamma$ са изпълнени равенствата $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}$

Константа на Стефан-Болцман σ = $5{,}67.10^{-8}$ W.m$^{-2}$.K$^{-4}$

Ако една функция $T(t)$ е свързана с производната си така: $\dfrac{dT(t)}{dt} = B.[T(t)]^k$, където $B$ – е константа, а $k$ – число ($k \neq 1$), то функцията има вида $T(t) = [(-k+1)(Bt+D)]^{\frac{1}{-k+1}}$, където $D$ е неизвестна константа.

а) Изчислете числото n. [1 т.] [1 т.]

б) Ако моларният капацитет при постоянен обем на газа е $C_V = \frac{3}{2}R$, където $R$ е универсалната газова константа, пресметнете топлинния капацитет $C_{all}$ на целия газ в балона при условията, при които е поставен. [3,5 т.] [3,5 т.]

в) Ако първоначалната температура на газа е $T_0$ , намерете как температурата $T(t)$ на балона се изменя с времето (изразена чрез σ, $a$, $T_0$ и t). Приемете, че балонът има пренебрежим топлинен капацитет и излъчва като абсолютно черно тяло. [3,5 т.] [3,5 т.]

г) Нека първоначалната температура на газа е $T_0 = 300$ K, налягането му е $p_0 = 1$ atm, а обемът му е $V_0 = 1$ m$^3$. След колко време $t_{1/2}$ температурата му ще спадне наполовина? Намерете формула [1,5 т.] за $t_{1/2}$ (изразено чрез $T_0, p_0, V_0$ и σ) и изчислете стойността му. [0,5 т.] [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2016_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2016_STsolutions.pdf