НЕСФ 2016, Специална тема — Задача 1. Планета с ядро

• а) $\rho_2 = \frac{3g(r_1)r_1{}^2}{4\pi G r_2{}^3} - \rho_1\left[\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 - 1\right] = 10{,}53\ \mathrm{g/cm^3}$

• б) $g(r) = \frac{4\pi}{3}G\rho_2 r\ ;\qquad g(r_2) = 10{,}30\ \mathrm{m/s^2}$

  Формулата за $r \le r_2$ е $g(r) = \frac{4\pi}{3}G\rho_2 r$; числената стойност се отнася за $g(r_2)$.

• в) $r_x = r_2\sqrt[3]{2\left(\frac{\rho_2}{\rho_1}-1\right)} \approx 4862\ \mathrm{km}\ ;\qquad g(r_x) = 9{,}17\ \mathrm{m/s^2}$

  Второто търсено число е $g(r_x) = 9{,}17\ \mathrm{m/s^2}$ (допуск $\pm 0{,}05\ \mathrm{m/s^2}$).

• г) $p(0) = \frac{1}{2}\rho_2 g(r_2) r_2 + \rho_1 g(r_1)(r_1-r_2) \approx 3{,}1\cdot 10^{11}\ \mathrm{Pa} = 3{,}1\cdot 10^{6}\ \mathrm{atm}$

• д) $\varphi \in (0,\ 113{,}7^\circ)$

  $\sin\gamma_{\min} = r_2/r_1$, $\gamma_{\min} \approx 33{,}15^\circ$, $\varphi_{\max} = 2(90^\circ-\gamma_{\min}) \approx 113{,}7^\circ$.

• е) $\varphi = 180^\circ + 2\left[-\gamma + \sin^{-1}\left(\frac{r_1}{r_2}\sin\gamma\right) - \sin^{-1}\left(\frac{v_2}{v_1}\frac{r_1}{r_2}\sin\gamma\right)\right]$

• ж) Сеизмична сянка: $\varphi \in (113{,}7^\circ;\ 160{,}3^\circ)$; 2 вълни: $\varphi \in (160{,}3^\circ;\ 163{,}5^\circ)$; 3 вълни: $\varphi \in [163{,}5^\circ;\ 180^\circ]$.

а) Силата на тежестта, която действа на тяло с маса m на повърхността на планетата, е гравитационната сила на привличане между тялото и планетата: $mg(r_1) = G\dfrac{M(r_1)m}{r_1{}^2}$, като масата на планетата е $M(r_1) = \dfrac{4\pi}{3}\left[\rho_2 r_2{}^3 + \rho_1\left(r_1{}^3 - r_2{}^3\right)\right]$. След опростяване $\rho_2 = \dfrac{3g(r_1)r_1{}^2}{4\pi G r_2{}^3} - \rho_1\left[\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3 - 1\right]$ [0,5 т.] $= 10{,}53\ \mathrm{g/cm^3}$. [0,5 т.]

б) Силата на тежестта, която действа на тяло с маса m на разстояние r от центъра на планетата, зависи само от тази част от масата на планетата, оградена от сфера с радиус r : $mg(r) = G\dfrac{M(r)m}{r^2}$, където $M(r) = \dfrac{4\pi}{3}\rho_2 r^3$. Следователно $g(r) = G\dfrac{4\pi}{3}\rho_2 r$. [0,5 т.] $g(r_2) = 10{,}30\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

в) Ускорението $g(r)$ при $r \in (r_2, r_1)$ е $g(r) = G\dfrac{4\pi}{3r^2}\left[\rho_2 r_2{}^3 + \rho_1\left(r^3 - r_2{}^3\right)\right] = G\dfrac{4\pi}{3r^2}\left[(\rho_2-\rho_1)r_2{}^3 + \rho_1 r^3\right]$. То има локален минимум, когато производната на тази функция е нула: $\dfrac{dg(r)}{dr} = G\dfrac{4\pi}{3}\left[(\rho_2-\rho_1)r_2{}^3\dfrac{(-2)}{r^3} + \rho_1\right] = 0$, откъдето $r_x = r_2\sqrt[3]{\dfrac{2(\rho_2-\rho_1)}{\rho_1}} = r_2\sqrt[3]{2\left(\dfrac{\rho_2}{\rho_1}-1\right)} \approx$ [1 т.] $4862\ \mathrm{km}$. [0,5 т.] $g(r_x) = 9{,}17\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 т.]

г) Промяната на налягането при промяна на радиуса се дава с формулата $\Delta p(r) = -\rho(r)g(r)\Delta r$. Следователно промяната на налягането ще се изразява с площта, заградена под графиката на $\rho(r)g(r) = f(r)$. Площта за $r \in (0, r_2)$ е площ на триъгълник, а за $r \in (r_2, r_1)$ – площ на правоъгълник. Тогава $p(0) = \dfrac{1}{2}\rho_2 g(r_2) r_2 + \rho_1 g(r_1)(r_1 - r_2)$ [1 т.] $\approx 3{,}1.10^{11}\ \mathrm{Pa} = 3{,}1.\,10^{6}\ \mathrm{atm}$ [0,5 т.]

д) За да не преминава вълната през ядрото, ъгълът $\gamma$ (виж чертежа) трябва да е по-голям от $\gamma_{\min}$ , където $\sin\gamma_{\min} = \dfrac{r_2}{r_1}$ . $\gamma_{\min} \approx 33{,}15^\circ$. Тогава $\varphi_{\max} = 2(90^\circ - \gamma_{\min}) \approx 113{,}7^\circ$. Следователно интервалът от ъгли $\varphi$, съответстващи на точки X, които вълната достига, без да преминава през ядрото, е $\varphi \in (0, 113{,}7^\circ)$. [0,5 т.]

е) От чертежа се вижда, че $\varphi = 180^\circ - 2\beta + 2(\alpha - \gamma)$. Използвайки, че $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{v_1}{v_2}$ и прилагайки синусовата теорема за триъгълник CMN : $\dfrac{r_2}{\sin\gamma} = \dfrac{r_1}{\sin(180^\circ-\alpha)} = \dfrac{r_1}{\sin\alpha}$ , се получава $\varphi = 180^\circ + 2\left[-\gamma + \sin^{-1}\left(\dfrac{r_1}{r_2}\sin\gamma\right) - \sin^{-1}\left(\dfrac{v_2}{v_1}\dfrac{r_1}{r_2}\sin\gamma\right)\right]$. [2 т.]

ж) Изследвайки функцията $\varphi = f(\gamma)$ в интервала ъгли $\gamma \in [0, \gamma_{\min}]$ може да получим следната таблица и следната графика:

От тези данни може да се направи извода (виж фигурата с типовете пътища на вълните през планетата), че за $\varphi \in (113{,}7^\circ;\ 160{,}3^\circ)$ не пристигат никакви вълни (това е мястото на сеизмична сянка), [0,5 т.] за $\varphi \in (160{,}3^\circ;\ 163{,}5^\circ)$ пристигат 2 вълни [1 т.], а за $\varphi \in [163{,}5^\circ;\ 180^\circ]$ пристигат 3 вълни. [0,5 т.]