Съдържание

НЕСФ 2016, Специална тема — Задача 3. Изстиващ балон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Специална тема · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

s мола идеален газ се намират в сферичен балон. Балонът се намира във вакуум с нулева температура и притежава такива еластични свойства, че радисът му r и налягането p на газа в него са свързани с равенството $p = \dfrac{a}{r}$ , където $a$ е някаква константа. Зависимостта на налягането p в балона от обема му V се описва от закона $p.V^n = const$ .

Полезна математика и фундаментални константи:

Гравитационна константа G = $6{,}67.10^{-11}$ N.m $^2$ /kg $^2$

1 atm = $10^5$ Pa

Синусова теорема: В триъгълник със страни a , b, c и ъгли срещу тези страни $\alpha, \beta, \gamma$ са изпълнени равенствата $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}$

Константа на Стефан-Болцман σ = $5{,}67.10^{-8}$ W.m $^{-2}$ .K $^{-4}$

Ако една функция $T(t)$ е свързана с производната си така: $\dfrac{dT(t)}{dt} = B.[T(t)]^k$ , където $B$ – е константа, а $k$ – число ( $k \neq 1$ ), то функцията има вида $T(t) = [(-k+1)(Bt+D)]^{\frac{1}{-k+1}}$ , където $D$ е неизвестна константа.

а) Изчислете числото n. [1 т.] [1 т.]

б) Ако моларният капацитет при постоянен обем на газа е $C_V = \frac{3}{2}R$ , където $R$ е универсалната газова константа, пресметнете топлинния капацитет $C_{all}$ на целия газ в балона при условията, при които е поставен. [3,5 т.] [3,5 т.]

в) Ако първоначалната температура на газа е $T_0$ , намерете как температурата $T(t)$ на балона се изменя с времето (изразена чрез σ, $a$ , $T_0$ и t). Приемете, че балонът има пренебрежим топлинен капацитет и излъчва като абсолютно черно тяло. [3,5 т.] [3,5 т.]

г) Нека първоначалната температура на газа е $T_0 = 300$ K, налягането му е $p_0 = 1$ atm, а обемът му е $V_0 = 1$ m $^3$ . След колко време $t_{1/2}$ температурата му ще спадне наполовина? Намерете формула [1,5 т.] за $t_{1/2}$ (изразено чрез $T_0, p_0, V_0$ и σ) и изчислете стойността му. [0,5 т.] [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като $p.r = a$ , а $r = \left(\dfrac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}$ , то $p.V^{1/3} = a\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)^{1/3} = const$ . Следователно $n = 1/3$ . [1 т.]

б) От първия принцип на термодинамиката следва, че $\Delta Q = \Delta U + \Delta A$ , (3.1) където $\Delta Q = C_{all}\Delta T$ , $\Delta U = sC_V\Delta T$ и $\Delta A = p\Delta V$ . [0,5 т.] Тогава (3.1) се преобразува до $C_{all}\Delta T = sC_V\Delta T + p\Delta V$ . (3.2) [0,5 т.] От уравнението на процеса $p.V^n = const.$ , за малки изменения на обема и налягането се получава $pV^n = (p+\Delta p)(V+\Delta V)^n \approx (p+\Delta p)(V^n + nV^{n-1}\Delta V) \approx pV^n + \Delta pV^n + npV^{n-1}\Delta V$ . След съкращения $\Delta pV + np\Delta V = 0$ . (3.3) [0,5 т.] От друга страна от уравнението на идеалния газ за две близки състояния следва: $pV = sRT$ (3.4), $(p+\Delta p)(V+\Delta V) = sR(T+\Delta T)$ (3.5). Изваждайки (3.4) от (3.5), $\Delta pV + p\Delta V + \Delta p\Delta V = sR\Delta T \approx \Delta pV + p\Delta V$ . (3.6) [0,5 т.] Комбинирайки (3.6) и (3.3), се получава $p\Delta V = \dfrac{sR\Delta T}{1-n}$ (3.7). [0,5 т.] Замествайки (3.7) в (3.2) и използвайки резултата за n от подусловие а), $C_{all} = sC_V + \dfrac{sR}{1-n} = 3sR$ . [1 т.]

в) При излъчване като абсолютно черно тяло, балонът ще излъчва топлина, зависеща от температурата и площта му според закона на Стефан-Болцман така: $\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = -C_{all}\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \sigma S T^4$ . [0,5 т.] (3.8) Тъй като площта на балона е $S = 4\pi r^2$ , уравнението на идеалния газ може да се преобразува така: $pV = sRT$ , $\dfrac{a}{r}\dfrac{4}{3}\pi r^3 = sRT$ , $4\pi r^2 = \dfrac{3}{a}sRT$ . (3.9) Замествайки (3.9) в (3.8), се получава $\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = -\dfrac{3\sigma sR}{aC_{all}}T^5 = -\dfrac{\sigma}{a}T^5 = BT^5$ [1 т.] $\left(B \equiv -\dfrac{\sigma}{a}\right)$ . (3.10) Функцията $T(t)$ , удовлетворяваща (3.10), е от типа $T(t) = [-4(Bt+C)]^{-1/4}$ . [0,5 т.] (3.11) Неизвестната константа $C$ може да се определи от началните условия, $(0) = T_0 = [-4C]^{-1/4}$ , откъдето $C = -\dfrac{1}{4T_0{}^4}$ . [0,5 т.] Замествайки в (3.11), $T(t) = \dfrac{T_0}{\sqrt[4]{\dfrac{4\sigma T_0{}^4}{a}t+1}}$ . [1 т.] (3.12)

г) Тъй като $T\left(t_{1/2}\right) = \dfrac{T_0}{2}$ , от (3.12) следва, че $\dfrac{4\sigma T_0{}^4}{a}t_{1/2} = 15$ . [0,5 т.] (3.13) Използвайки резултатите от подусловие а), $a = p_0V_0{}^{1/3}\left(\dfrac{3}{4\pi}\right)^{1/3}$ . Замествайки в (3.13), $t_{1/2} = \dfrac{15}{4}\dfrac{p_0V_0{}^{1/3}}{\sigma T_0{}^4}\left(\dfrac{3}{4\pi}\right)^{1/3}$ [1 т.] $= 507\ \mathrm{s}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2016_STsolutions.pdf