Съдържание

НЕСФ 2017, 10. клас — Задача 2. Махало в кондензатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Есенно национално състезание по физика, 17 - 19 ноември 2017 година — ТЕМА за 10. клас (четвърта състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Плосък кондензатор, чиито плочи са ориентирани във вертикално направление, е захванат неподвижно в пространството. Разстоянието между плочите е $d$ . Плочите са с височина $h$ и имат площ $A \gg d^2$ . Заредена частица с маса $m$ , заряд $q$ и пренебрежими размери е окачена на безмасова нишка с дължина $L$ , чийто горен край е захванат неподвижно за твърда връзка. Когато кондензаторът не е зареден, частицата се намира в центъра на кондензатора (на разстояние $d/2$ от всяка плоча и на височина $h/2$ от основата на плочите). При прилагане на потенциална разлика $U$ между плочите нишката сключва ъгъл $\theta_0$ спрямо вертикалата, когато частицата е в равновесие. Съпротивлението на въздуха е пренебрежимо. Земното ускорение е $g$ .

а) Намерете равновесния ъгъл $\theta_0$ . [2 т.]

б) Частицата е повдигната на ъгъл $\theta$ , който е малко по-голям от ъгъла $\theta_0$ , и оставена да се движи свободно, при което тя започва да извършва трептения около равновесното положение. Намерете периода на движението $T$ , изразен чрез ъгъла $\theta_0$ . [5 т.]

в) Частицата се намира в покой в равновесното положение (на ъгъл $\theta_0$ ), след което нишката е срязана. Намерете максималната стойност на напрежението $U_\mathrm{max}$ , при която частицата няма да се удари в плочите при напускане на кондензатора. [3 т.]

Решение

а) Електричното поле между плочите е $E = U/d$ . Три сили действат на частицата: електростатична, гравитационна и сила на опън от страна на нишката. За първите две имаме: $F_\mathrm{E} = qE = qU/d$ [0.5т] и $F_\mathrm{g} = mg$ [0.5т]. В равновесие хоризонталната и вертикалната компоненти на силата на опън $F_\mathrm{T}$ балансират електростатичната и гравитационната сили. Следователно $\tan\theta_0 = \frac{F_\mathrm{E}}{F_\mathrm{g}} = \frac{qU}{mgd}$ . [1т]

б) Силата на опън $F_\mathrm{T}$ се задава с $F_\mathrm{T} = \frac{mg}{\cos\theta_0}$ [2т]. Математическото махало има период $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ [1т], където $g$ е ускорението на свободно падане. В нашия случай, ако срежем нишката, ускорението на частицата ще бъде $F_\mathrm{T}/m$ [1т]. Следователно имаме $T = 2\pi\sqrt{\frac{mL}{F_\mathrm{T}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta_0}{g}}$ . [1т]

Еквивалентни, но не толкова красиви решения, са $T = 2\pi\sqrt{\frac{mL}{qE}\sin\theta_0}$ и $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2 + \left(qE/m\right)^2}}}$ . [1т]

в) След срязване на нишката, частицата ще се движи равноускорително по права линия, сключваща ъгъл $\theta_0$ спрямо вертикалата [1т]. Поради това частицата ще напусне кондензатора на разстояние $x = \left(L + h/2\right)\tan\theta_0$ [1т] от вертикалната ос, минаваща през центъра на кондензатора. В граничния случай имаме $x = \frac{d}{2}$ . Така получаваме $U_\mathrm{MAX} = \frac{mgd^2}{(2L+h)q}$ . [1т]

Оригинал в Архива: esenni_2017_10problems.pdf · официални решения: esenni_2017_10solutions.pdf