Съдържание

НЕСФ 2017, 11–12 клас — Задача 3. Въздушна пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2017 г., гр. Варна — Тема за 11.–12. клас, пета състезателна група · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Бутало с маса $m$ може да се движи без триене в дълъг вертикален цилиндър, пълен с газ (Фигура 4). В равновесно положение буталото се намира на височина $l_0$ от дъното на цилиндъра, както е показано на фигурата.

Полезна математика: $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ , $|x| \ll 1$ .

Полезна физика: кръговата честота е $\omega = 2\pi\nu$ , където $\nu$ е честотата на трептенията.

Вертикален цилиндър, пълен с газ, с бутало с маса $m$ на височина $l_0$ от дъното; над буталото е атмосферното налягане $p_0$. — Фигура 4

3.1. Намерете налягането $p_1$ на газа, когато буталото се намира в равновесно положение. (1,5 т.)

3.2. Определете периода $T$ и кръговата честота $\omega$ на малките трептения на буталото около равновесното му положение, ако площта на буталото е $S$ , атмосферното налягане е $p_0$ , а газът е идеален. Разгледайте два случая:

3.2.1. Движението на буталото става много бавно, при което газът не променя температурата си; (4.5 т.)

3.2.2. Движението на буталото става много бързо и газът не обменя топлина с околната среда. В този случай може да разгледате термодинамичен процес, който се описва от уравнението $pV^\gamma = \mathrm{const}$ , където $\gamma = \mathrm{const}$ . (3.5 т.)

3.3. Разгледайте горните два случая, като не отчитате влиянието на атмосферното налягане. (0,5 т.)

Отговори

Решение

Решение: 3.1. Налягането на газа, когато буталото е в равновесно положение, се определя от условието $mg + p_0S = p_1S$ , (1 т.) откъдето за $p_1$ получаваме:

p_1 = \frac{mg + p_0S}{S}.

(0,5 т.) (3.1)

3.2.1. Да разгледаме малко отклонение $x$ на буталото от равновесното му положение, при което обемът на газа намалява с $\Delta V = xS$ , а налягането му нараства с $\Delta p$ . Вследствие на промяната на налягането на газа под буталото, на буталото ще действа допълнителна сила $F = \Delta pS$ , насочена нагоре към равновесното му положение. Тъй като движението на буталото става много бавно, то температурата на газа не се променя. Тогава може да използваме, че:

pV = \mathrm{const},

(0,5 т.)

откъдето:

p_1l_0S = (p_1 + \Delta p)(l_0S - xS).

(0,5 т.)

Тогава може да получим изменението на налягането:

\Delta p = \frac{p_1x}{l_0 - x} = \frac{(mg + p_0S)x}{S(l_0 - x)} \approx \frac{(mg + p_0S)x}{Sl_0},

(1 т.)

където сме отчели, че $l_0 \gg x$ , т.е. $l_0 - x \approx l_0$ . Така за допълнителната сила, която действа на буталото, получаваме:

F = -\frac{mg + p_0S}{l_0}x.

(0,5 т.)

Знакът минус показва, че силата е насочена към равновесното положение и е в противоположна посока на отместването на буталото. Също така се вижда, че силата има вида $F = -kx$ , т.е. коефициентът пред отместването $x$ има смисъл на коефициент на квазиеластичност, (0,5 т.) тогава за периода на трептенията, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ , може да запишем:

T = 2\pi\sqrt{\frac{ml_0}{mg + p_0S}},

(0,5 т.) (3.2)

а за кръговата честота , $\omega$ се получава:

\omega = \sqrt{\frac{mg + p_0S}{ml_0}}.

(1 т.) (3.3)

3.2.2. При много бързо движение на буталото газът не може да обмени топлина с околната среда и процесът може да се разглежда като адиабатен. При адиабатен процес използваме, че:

pV^\gamma = \mathrm{const},

което в конкретния случай се записва така:

p_1(l_0S)^\gamma = (p_1 + \Delta p)(l_0S - xS)^\gamma.

(0,5 т.)

Аналогично на предния случай, за изменението на налягането може да получим:

\Delta p = \gamma\frac{x}{l_0}p_1,

(1.5 т.)

където сме отчели, че $\left(1 - \dfrac{x}{l_0}\right)^\gamma \approx \left(1 - \gamma\dfrac{x}{l_0}\right)$ , тъй като цилиндърът е много висок и $l_0 \gg x$ . От тук се вижда, че налягането нараства $\gamma$ пъти в сравнение с изотермния случай. Така периодът и кръговата честота ще се изменят с множител равен на $\gamma^{1/2}$ :

T = 2\pi\sqrt{\frac{ml_0}{(mg + p_0S)\gamma}}\quad\text{и}\quad\omega = \sqrt{\frac{mg + p_0S}{ml_0}\gamma}.

(0,5 т.) и (1 т.) (3.4)

3.2.3. Заместваме $p_0 = 0$ в равенства (3.2) и (3.4) и получаваме периода на буталото без да отчитаме влиянието на атмосферното налягане:

T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}},\ T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{\gamma g}}.

(0,5 т.) (3.5)

Вижда се, че в този случай периодът на буталото съвпада с периода на математично махало с дължина $l_0$ и $l_0/\gamma$ .

Оригинал в Архива: esenni_2017_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2017_11-12solutions.pdf