НЕСФ 2017, Специална тема — Задача 1. Космонавти и космически кораб

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Специална тема (шеста състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Космически кораб (който всъщност е малка космическа капсула с размер $d \sim 4$ m) с двама космонавти се движи по кръгова орбита с радиус $r$ около планета с маса $M$. И двамата космонавти са излезли от капсулата като единият (К1) е закрепен неподвижно за нея от външната ѝ страна, а другият (К2 с маса $m$) е също неподвижен спрямо капсулата, но на разстояние $l$ от нея ($d \ll l \ll r$), като се движи по същата орбита зад нея (скоростта на космонавта К2 спрямо планетата е насочена към капсулата). Изведнъж К2 установява, че въжето, с което е бил свързан с капсулата, се е разкачило и К1 няма как да го издърпа обратно до капсулата. След като помислил, К2 решил да се завърне на капсулата по следния начин: Той изхвърлил малък предмет с маса $\mu$ ($\mu \ll m$) със скорост $v_\mu$, насочена точно към капсулата (като направлението на скоростта $v_\mu$ минава през центъра на масата на К2). Той съобразил, че по този начин така ще си промени скоростта, че ще се движи по орбита с малко по-малка голяма ос и съответно малко по-малък период. При подходящо подбрана нова орбита, точно след един период на въртене на К2, корабът щял да се намира в същата точка от пространството (т.е. така ще се завърне на кораба). Трябва да получите формула и стойност за скоростта $v_\mu$. За целта получете последователно формули и стойности за следните величини:

а) скоростта $v$ на кораба. $M = 5{,}97.10^{24}$ kg, $r = 6800$ km; [1 т.]

б) периода $T$ на обикаляне на кораба около планетата; [0,5 т.]

в) желаната от К2 разлика $\Delta T = T - T_m$ в периодите на обикаляне на кораба и К2; $l = 200$ m; [0,5 т.]

г) разликата $x$ между диаметъра на орбитата на кораба и голямата ос на орбитата на К2; [1,5 т.]

д) относителната скорост $\Delta v_m$ на К2 спрямо кораба, веднага след като е хвърлил предмета; [3 т.]

е) скоростта $v_\mu$ на хвърляне на малкото тяло, за да постигне К2 относителна скорост $\Delta v_m$ спрямо кораба; $\mu = 0{,}100$ kg, а $m = 100$ kg; [0,5 т.]

ж) Начертайте качествено траекторията на К2 до достигането му до кораба (в система, свързана с кораба). Отбележете параметрите на траекторията, които знаете. [1 т.]

з) Ако К2 се е прицелил перфектно и е хвърлил малкото тяло точно към кораба и К1, ще може ли К1 да го хване (за да не правят космически боклук ☺)? Обосновете отговора си количествено, използвайки възможно най-простия модел. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2017_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2017_STsolutions.pdf