НЕСФ 2017, Специална тема — Задача 1. Космонавти и космически кораб

• а) $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \approx 7652\ \mathrm{m/s}$
• б) $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \approx 5583\ \mathrm{s}$
• в) $\Delta T = \frac{l}{2\pi r}T = l\sqrt{\frac{r}{GM}} \approx 0{,}02614\ \mathrm{s}$
• г) $x = \frac{4r}{3}\frac{\Delta T}{T} = \frac{2l}{3\pi} = 42{,}44\ \mathrm{m}$
• д) $\Delta v_m = \frac{vx}{4r} = \frac{vl}{6\pi r} = 1{,}194\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m/s}$
• е) $v_\mu = \Delta v_m\frac{m}{\mu} = 11{,}94\ \mathrm{m/s}$
• ж) Затворена крива в отправната система на кораба: дължина $l = 200$ m между кораба и К2 и максимално отклонение към планетата $x = 42{,}4$ m (виж фигурата към решението).
• з) $\Delta r = \tfrac{1}{2}a_Kt^2 = \frac{\Omega l^2}{v_\mu} = \frac{2\pi l^2}{Tv_\mu} = 3{,}77\ \mathrm{m}$

По-долу в числените резултати умишлено е дадена навсякъде една значеща цифра повече, за да не се натрупва числова грешка от закръгляване.

а) Скоростта $v$ на кораба се намира от условието за движение по окръжност: $\frac{m_{\text{к}}v^2}{r} = \frac{GMm_{\text{к}}}{r^2}$ , откъдето $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ [0.6 т.] (1.1) $\approx 7652$ m/s. [0.4 т.]

б) Периодът $T$ на обикаляне на кораба около планетата е $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ (1.2) [0.3 т.] $\approx 5583$ s. [0.2 т.]

в) Желаната от К2 разлика $\Delta T = T - T_m$ в периодите на обикаляне на кораба и К2 е $\Delta T = \frac{l}{2\pi r}T = l\sqrt{\frac{r}{GM}}$ (1.3) [0.3 т.] $\approx 0{,}02614$ s. [0.2 т.]

г) Разликата $x$ между диаметъра на орбитата на кораба и голямата ос на орбитата на К2 може да се намери от третия закон на Кеплер: $\frac{T^2}{r^3} = \frac{T_m{}^2}{\left(r-\frac{x}{2}\right)^3}$ [0.4 т.], откъдето $= T_m\left(1-\frac{x}{2r}\right)^{-\frac{3}{2}} \approx T_m\left(1+\frac{3x}{4r}\right)$. [0.4 т.] (1.4) $\Delta T = T_m\frac{3x}{4r} \approx T\frac{3x}{4r}$ , откъдето използвайки (1.3), $x = \frac{4r}{3}\frac{\Delta T}{T} = \frac{2l}{3\pi}$ (1.5) [0.4 т.] $= 42{,}44$ m. [0.3 т.]

д) Относителната скорост $\Delta v_m$ на К2 спрямо кораба, веднага след като е хвърлил предмета, е $\Delta v_m = v - v_m$, където $v$ е скоростта на кораба, а $v_m$ е скоростта на К2 веднага след като е хвърлил предмета. Тя може да се намери от данните за траекторията на К2. Нека разстоянието до центъра на планетата в най-близката точка от траекторията на К2 е $r'$, а скоростта там е $v_m{}'$. От закона за запазване на енергията следва $\frac{mv_m{}^2}{2} - \frac{GMm}{r} = \frac{mv_m{}'^2}{2} - \frac{GMm}{r'}$ (1.6) [0.2 т.]. От закона за запазване на момента на импулса следва $mv_mr = mv_m{}'r'$ (1.7) [0.2 т.]. Преобразуваме (1.6) до $v_m{}'^2 - v_m{}^2 = 2GM\left(\frac{1}{r'} - \frac{1}{r}\right)$ (1.8). Заместваме отношението $\frac{v_m{}'}{v_m}$ от (1.7) в (1.8): $\left[\left(\frac{v_m{}'}{v_m}\right)^2 - 1\right]v_m{}^2 = \left[\left(\frac{r}{r'}\right)^2 - 1\right]v_m{}^2 = 2GM\left(\frac{1}{r'} - \frac{1}{r}\right) = 2GM\frac{r-r'}{r'r}$ . След съкращения се получава $v_m = \sqrt{\frac{2GMr'}{(r+r')r}}$ (1.9) [1 т.]. Тъй като $r' = r - x$, замествайки в (1.9), $v_m = \sqrt{\frac{2GM(r-x)}{(r+r-x)r}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\left(1-\frac{x}{r}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{x}{2r}\right)^{-\frac{1}{2}} \approx \sqrt{\frac{GM}{r}}\left(1-\frac{x}{4r}\right) = v\left(1-\frac{x}{4r}\right)$ (1.10) [1 т.]. Следователно $\Delta v_m = \frac{vx}{4r} = \frac{vl}{6\pi r}$ (1.11). [0.4 т.] $= 1{,}194.10^{-2}$ m/s. [0.2 т.]

е) Прилагаме закона за запазване на импулса за системата от тела космонавт К2-хвърлено тяло в система, свързана с кораба: $0 = (m - \mu)\Delta v_m - \mu\left(v_\mu - \Delta v_m\right)$, откъдето $v_\mu = \Delta v_m\frac{m}{\mu}$ [0.3 т.] $= 11{,}94$ m/s [0.2 т.]

ж) Траекторията на К2 до достигането си до кораба (в система, свързана с кораба) е дадена по-долу. [1 т.]

з) Тъй като системата, свързана с кораба, е въртяща се отправна система, при разглеждане на движение на тела спрямо нея, трябва да се отчита допълнително действащата на телата Кориолисова сила (центробежната и гравитационната сили (между телата и планетата) са равни по големина и противоположни по посока). Следователно едно тяло в тази неинерциална система ще се движи само под действието на Кориолисовата сила. Тъй като малкото тяло е хвърлено със сравнително голяма скорост и ни интересува движението на близко разстояние ($\sim l$), то неговата траектория малко ще се отклонява от правата линия. Тъй като $\vec{F}_K = 2m\vec{v} \times \vec{\Omega}$ и първоначално скоростта $\vec{v}$ на тялото е тангенциална на кръговата орбита, а $\vec{\Omega}$ е перпендикулярна на равнината на орбитата, то $\vec{v}$ и $\vec{\Omega}$ са перпендикулярни и силата е насочена радиално навън. Можем да приемем, че тя слабо променя тангенциалната скорост, а само добавя малка радиална скорост. Тогава, ако $t$ е времето за достигане на малкото тяло до кораба, то $t = \frac{l}{v_\mu}$ , а радиалното отместване $\Delta r = \frac{1}{2}a_Kt^2 = \frac{\Omega l^2}{v_\mu} = \frac{2\pi l^2}{Tv_\mu}$ [1.5 т.] $= 3{,}77$ m. Достигайки кораба, малкото тяло ще се е отклонило доста от целта и К1 няма да може да го хване. [0.5 т]