Съдържание

НЕСФ 2017, Специална тема — Задача 3. Небесна дъга

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Специална тема (шеста състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

След дъжд, когато в небето все още има дъждовни капки, а слънцето вече ги огрява, се наблюдава небесна дъга. Явлението се състои в наблюдаването на цветни дъги от концентрични окръжности. Ъгловият радиус на дадена дъга се дефинира като ъгълът $\varphi$ , който сключват пристигащия от дъгата към наблюдателя светлинен лъч и направлението от наблюдателя към центъра на окръжността на дъгата ( $\varphi \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ).

Оказва се, че това явление (неговите параметри, като ъглови радиуси на наблюдаваните дъги, тяхното ъглово разпределение по цветове и поляризацията на наблюдаваната светлина) задоволително се обяснява на езика на геометричната оптика, изследвайки как светлинен лъч преминава през водна капка със сферична форма.

Полезна теория, математика и фундаментални константи:

Гравитационна константа G = $6{,}67.10^{-11}$ N.m $^2$ /kg $^2$

$(1 + x)^n \approx 1 + nx$ , за $|x| \ll 1$

Когато тяло с маса $m$ се движи със скорост $\vec{v}$ спрямо една неинерциална отправна система, въртяща се с ъглова скорост $\vec{\Omega}$ , на тялото действа допълнителна инерчна сила, наречена Кориолисова: $\vec{F}_K = 2m\vec{v} \times \vec{\Omega}$

Косинусова теорема: В триъгълник със страни $a$ , $b$ , $c$ и ъгли срещу тези страни $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , е изпълнено равенството $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Първата производна на обратната тригонометрична функция $\arcsin(x) \equiv \sin^{-1}(x)$ е $\frac{d}{dx}\left[\arcsin(x)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

При падане на светлинен лъч на границата на два прозрачни (непоглъщащи) диелектрика, част от него се отразява, а част от него се пречупва. Нека ъгълът на падане е $\alpha$ , а ъгълът на пречупване е $\beta$ . Нека интензивността на падащия лъч е $I_i$ , на отразения е $I_r$ , а на преминалия е $I_t$ . Тогава $I_i = I_r + I_t$ . Нека коефициентът на отражение е $R = \frac{I_r}{I_i}$ . Ако падащата светлина е линейно поляризирана в равнината на падане (определена от падащия лъч и нормалата към повърхността), то $R_\parallel = \left[\frac{\tan(\alpha-\beta)}{\tan(\alpha+\beta)}\right]^2$ . Ако падащата светлина е линейно поляризирана в направление, перпендикулярно на равнината на падане, то $R_\perp = \left[\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\right]^2$ .

При отражение и пречупване неполяризираната светлина количествено може да се опише (държи се) като два линейно поляризирани снопа светлина с равни интензивности и поляризирани в две взаимно перпендикулярни направления.

а) Нека ъгълът на падане на лъч върху повърхността на капка (кълбо) е $\alpha$ , ъгълът на пречупване е $\beta$ , а ъгълът на отклонение на светлинния лъч (дължащо се на пречупване на лъча при влизане, на $k$ на брой вътрешни отражения и на второто пречупване при излизане на лъча от капката) е $\delta$ ( $\delta \in (0, \infty)$ ). Показателят на пречупване на водата е $n$ , а на въздуха може да се приеме за единица. Получете формула за $\delta = \delta(\alpha, k, n)$ . [2 т.]

б) Оказва се, че функцията $\delta = \delta(\alpha)$ (при $k, n$ – фиксирани параметри) има екстремум при дадено $\alpha_{\text{д}}$ . Знаейки стойността на $\alpha_{\text{д}}$ , може да се пресметнат съответно $\beta_{\text{д}}$ , $\delta_{\text{д}}$ и $\varphi_{\text{д}}$ . $\varphi_{\text{д}}$ съответства на ъгловия радиус на наблюдаваната дъга. Получете формула за $\sin\alpha_{\text{д}} = f(k, n)$ . [2,5 т.]

в) Показателят на пречупване $n$ на водата за някои дължини на вълни (за средата и двата края на видимия диапазон) е даден в таблицата. Изчислете $\alpha_{\text{д}}$ , $\beta_{\text{д}}$ , $\delta_{\text{д}}$ и $\varphi_{\text{д}}$ (в градуси) за дадените три дължини на вълните и за $k = 1$ (първа дъга) и $k = 2$ (втора дъга). Нарисувайте схематично двете дъги с разпределението на цветовете в тях и отбележете ъгловите им радиуси. [2.5 т.]

$\lambda$ , nm	$n$	цвят
400	1.344	виолетов
550	1.334	жълт
700	1.331	червен

[2,5 т.]

г) Слънчевата светлина, която осветява водните капки, е неполяризирана. Светлината, идваща от дъгите, обаче, се оказва частично поляризирана. Частично поляризираната светлина количествено се описва с числото $P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ ( $P$ се нарича степен на поляризация), където $I_{\max}$ и $I_{\min}$ са съответно максималната и минималната стойност на интензивността на светлината, която преминава през поляризатор, който последователно е завъртян на всички възможни ъгли в равнината, перпендикулярна на изследвания лъч. Изчислете степента на поляризация $P_1$ и $P_2$ за жълтата светлина, идваща съответно от първата и втората дъга. Добавете със стрелкички на схемата от подусловие в) направлението на доминиращата поляризация на светлината от дъгите. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Ъгълът на отклонение се пресмята, като се сумират последователно ъглите на отклонение при първото пречупване при влизане на лъча в капката, $k$ на брой вътрешни отражения и при второто пречупване при излизане на лъча от капката: $\delta = (\alpha - \beta) + k(\pi - 2\beta) + (\alpha - \beta) = k\pi + 2\alpha - 2(k+1)\beta$ (виж чертежа при $k = 1$ ). [1 т.] Тъй като $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n$ [0.5 т.], то $\delta = k\pi + 2\alpha - 2(k+1).\arcsin\left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)$ [0.5 т.].

б) Екстремум ще има при $\frac{d\delta}{d\alpha} = 0$ , следователно $\frac{d\delta}{d\alpha} = 2 - 2(k+1)\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)^2}}\frac{1}{n}\cos\alpha = 0$ [1 т.], откъдето $\sin\alpha_{\text{д}} = \sqrt{\frac{(k+1)^2 - n^2}{(k+1)^2 - 1}}$ . [1.5 т.]

в) Изчислените ъгли са дадени в таблицата по-долу:

$k$	$\lambda$ , nm	$n$	$\alpha_{\text{д}}$ , °	$\beta_{\text{д}}$ , °	$\delta_{\text{д}}$ , °	$\varphi_{\text{д}}$ , °
1	400	1.344	58.77	39.51	139.50	40.50
1	550	1.334	59.35	40.16	138.06	41.94
1	700	1.331	59.53	40.36	137.62	42.38
2	400	1.344	71.49	44.87	233.76	53.76
2	550	1.334	71.81	45.41	231.16	51.16
2	700	1.331	71.91	45.58	230.34	50.34

Схемата трябва да съдържа двете дъги. Първата е вътрешна с виолетовия цвят отвътре и червения отвън. Втората е външна, с обърнати цветове и почти два пъти по-широка. [2.5 т.]

г) Тъй като всички лъчи (паднали, пречупени и вътрешно отразени) лежат в една равнина, то ако пада линейно-поляризиран лъч с успоредна (или перпендикулярна) поляризация, тя остава такава и за всяко следващо отражение (пречупване). Освен това, тъй като дадените формули (на Френел) са симетрични относно размяната на ъглите $\alpha$ и $\beta$ , то коефициентът на отражение при влизането на лъча, при вътрешното отражение и при излизането на лъча е един и същ. Следователно, ако пада лъч с интензивност $I_0$ , то излезлият от капката лъч ще има интензивност $I_{\text{и}} = (1-R)^2R^kI_0$ , като коефициентът на отражение $R$ е различен за двете поляризации (успоредна и перпендикулярна). [0.5 т.] Степента на поляризация е свързана с коефициентите на отражение така: $P = \frac{I_{\text{и}\parallel} - I_{\text{и}\perp}}{I_{\text{и}\parallel} + I_{\text{и}\perp}}$ при $I_{\text{и}\parallel} > I_{\text{и}\perp}$ или $P = \frac{I_{\text{и}\perp} - I_{\text{и}\parallel}}{I_{\text{и}\perp} + I_{\text{и}\parallel}}$ , ако $I_{\text{и}\parallel} < I_{\text{и}\perp}$ . [0.5 т.]

Изчислените стойности на търсените величини са дадени в таблицата по-долу. Светлината от дъгите е силно линейно-поляризирана, и за двете дъги в направление, тангенциално на дъгите, като светлината от първата дъга е с по-голяма степен на поляризация от тази на втората. [2 т.]

$k$	$\lambda$ , nm	$n$	$\alpha_{\text{д}}$ , °	$\beta_{\text{д}}$ , °	$R_\parallel$	$R_\perp$	$I_{\text{и}\parallel}/I_0$	$I_{\text{и}\perp}/I_0$	$P_k$
1	550	1.334	59.35	40.16	0.00340	0.1111	0.00337	0.08778	0.926
2	550	1.334	71.81	45.41	0.06520	0.2500	0.00371	0.03516	0.809

Чертеж: окръжност (водна капка); лъч влиза отляво под ъгъл α спрямо нормалата, пречупва се под ъгъл β и се отклонява с α − β, отразява се веднъж вътре в капката с отклонение π − 2β и излиза надолу вляво с ново отклонение α − β; пунктирни линии продължават входящия и изходящия лъч и сключват ъгъл δ вдясно. — Ходът на светлинния лъч през сферична водна капка при $k = 1$ вътрешно отражение (решение на Задача 3 а)): означени са ъглите на падане $\alpha$ , на пречупване $\beta$ , отклоненията $\alpha-\beta$ при двете пречупвания, $\pi-2\beta$ при вътрешното отражение и пълното отклонение $\delta$ .

Оригинал в Архива: esenni_2017_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2017_STsolutions.pdf