НЕСФ 2017, Специална тема — Задача 3. Небесна дъга

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Специална тема (шеста състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

След дъжд, когато в небето все още има дъждовни капки, а слънцето вече ги огрява, се наблюдава небесна дъга. Явлението се състои в наблюдаването на цветни дъги от концентрични окръжности. Ъгловият радиус на дадена дъга се дефинира като ъгълът $\varphi$, който сключват пристигащия от дъгата към наблюдателя светлинен лъч и направлението от наблюдателя към центъра на окръжността на дъгата ($\varphi \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$).

Оказва се, че това явление (неговите параметри, като ъглови радиуси на наблюдаваните дъги, тяхното ъглово разпределение по цветове и поляризацията на наблюдаваната светлина) задоволително се обяснява на езика на геометричната оптика, изследвайки как светлинен лъч преминава през водна капка със сферична форма.

---

Полезна теория, математика и фундаментални константи:

Гравитационна константа G = $6{,}67.10^{-11}$ N.m$^2$/kg$^2$

$(1 + x)^n \approx 1 + nx$ , за $|x| \ll 1$

Когато тяло с маса $m$ се движи със скорост $\vec{v}$ спрямо една неинерциална отправна система, въртяща се с ъглова скорост $\vec{\Omega}$, на тялото действа допълнителна инерчна сила, наречена Кориолисова: $\vec{F}_K = 2m\vec{v} \times \vec{\Omega}$

Косинусова теорема: В триъгълник със страни $a$, $b$, $c$ и ъгли срещу тези страни $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ , е изпълнено равенството $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Първата производна на обратната тригонометрична функция $\arcsin(x) \equiv \sin^{-1}(x)$ е $\frac{d}{dx}\left[\arcsin(x)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

При падане на светлинен лъч на границата на два прозрачни (непоглъщащи) диелектрика, част от него се отразява, а част от него се пречупва. Нека ъгълът на падане е $\alpha$ , а ъгълът на пречупване е $\beta$. Нека интензивността на падащия лъч е $I_i$ , на отразения е $I_r$ , а на преминалия е $I_t$ . Тогава $I_i = I_r + I_t$ . Нека коефициентът на отражение е $R = \frac{I_r}{I_i}$ . Ако падащата светлина е линейно поляризирана в равнината на падане (определена от падащия лъч и нормалата към повърхността), то $R_\parallel = \left[\frac{\tan(\alpha-\beta)}{\tan(\alpha+\beta)}\right]^2$ . Ако падащата светлина е линейно поляризирана в направление, перпендикулярно на равнината на падане, то $R_\perp = \left[\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\right]^2$ .

При отражение и пречупване неполяризираната светлина количествено може да се опише (държи се) като два линейно поляризирани снопа светлина с равни интензивности и поляризирани в две взаимно перпендикулярни направления.

а) Нека ъгълът на падане на лъч върху повърхността на капка (кълбо) е $\alpha$, ъгълът на пречупване е $\beta$, а ъгълът на отклонение на светлинния лъч (дължащо се на пречупване на лъча при влизане, на $k$ на брой вътрешни отражения и на второто пречупване при излизане на лъча от капката) е $\delta$ ($\delta \in (0, \infty)$). Показателят на пречупване на водата е $n$, а на въздуха може да се приеме за единица. Получете формула за $\delta = \delta(\alpha, k, n)$. [2 т.]

б) Оказва се, че функцията $\delta = \delta(\alpha)$ (при $k, n$ – фиксирани параметри) има екстремум при дадено $\alpha_{\text{д}}$. Знаейки стойността на $\alpha_{\text{д}}$ , може да се пресметнат съответно $\beta_{\text{д}}$ , $\delta_{\text{д}}$ и $\varphi_{\text{д}}$. $\varphi_{\text{д}}$ съответства на ъгловия радиус на наблюдаваната дъга. Получете формула за $\sin\alpha_{\text{д}} = f(k, n)$. [2,5 т.]

в) Показателят на пречупване $n$ на водата за някои дължини на вълни (за средата и двата края на видимия диапазон) е даден в таблицата. Изчислете $\alpha_{\text{д}}$ , $\beta_{\text{д}}$ , $\delta_{\text{д}}$ и $\varphi_{\text{д}}$ (в градуси) за дадените три дължини на вълните и за $k = 1$ (първа дъга) и $k = 2$ (втора дъга). Нарисувайте схематично двете дъги с разпределението на цветовете в тях и отбележете ъгловите им радиуси. [2.5 т.]

$\lambda$, nm	$n$	цвят
400	1.344	виолетов
550	1.334	жълт
700	1.331	червен

г) Слънчевата светлина, която осветява водните капки, е неполяризирана. Светлината, идваща от дъгите, обаче, се оказва частично поляризирана. Частично поляризираната светлина количествено се описва с числото $P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ ($P$ се нарича степен на поляризация), където $I_{\max}$ и $I_{\min}$ са съответно максималната и минималната стойност на интензивността на светлината, която преминава през поляризатор, който последователно е завъртян на всички възможни ъгли в равнината, перпендикулярна на изследвания лъч. Изчислете степента на поляризация $P_1$ и $P_2$ за жълтата светлина, идваща съответно от първата и втората дъга. Добавете със стрелкички на схемата от подусловие в) направлението на доминиращата поляризация на светлината от дъгите. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2017_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2017_STsolutions.pdf