Съдържание

НЕСФ 2017, Специална тема — Задача 2. Черна кутия с резистор и кондензатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Специална тема (шеста състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Черна кутия съдържа успоредно свързани резистор с неизвестно съпротивление $R$ и кондензатор с неизвестен капацитет $C$ . Към тази черна кутия последователно е включен друг резистор, чието съпротивление $R_x$ е известно и може да се регулира. Така образуваната верига е включена към източник на променливо напрежение с ефективна стойност $U_{eff}$ и честота $\nu$ (виж фигурата).

За да се намерят експериментално неизвестните стойности на двата елемента в черната кутия, са направени измервания. Използван е източник с ефективна стойност на напрежението $U_{eff} = 220$ V и честота $\nu = 50$ Hz.

С волтметър с много голямо вътрешно съпротивление се измерва напрежението $U$ върху външния за черната кутия резистор $R_x$ . При различни негови стойности са получени следните стойности за $U$ (виж таблицата).

$R_x$ , $\Omega$	$U$ , V
50.0	34.2
100.0	63.5
150.0	87.6
200.0	107.2
250.0	122.9
300.0	135.6
350.0	145.9
400.0	154.3
450.0	161.2
500.0	167.0

Електрическа схема: пунктиран правоъгълник (черна кутия) съдържа успоредно свързани резистор R и кондензатор C; вдясно е резистор Rx с успореден на него волтметър V; веригата се затваря през източник на променливо напрежение Ueff, означен с кръг със знак ~. — Веригата от условието на Задача 2: черната кутия (пунктирният правоъгълник) с успоредно свързани резистор $R$ и кондензатор $C$ , последователно свързаният регулируем резистор $R_x$ , волтметърът $V$ върху него и източникът на променливо напрежение $U_{eff}$ .

а) Получете формула за импеданса $Z$ на веригата, изразен чрез $R$ , $C$ , $R_x$ и кръговата честота $\omega = 2\pi\nu$ . [4 т.]

б) В листовете за отговори има празна таблица, в която са прехвърлени дадените данни за съпротивлението $R_x$ и напрежението $U$ . Добавете нови колони за стойностите на тока $I$ във веригата и импеданса $Z$ на веригата. Изчислете техните стойности. [1 т.]

в) Получената формула за импеданса $Z$ на веригата преобразувайте в такива променливи, че лесно да се обработва графично (в тези променливи зависимостта да е линейна). Направете колони за новите променливи и изчислете техните стойности. [1 т.]

г) Начертайте данните на дадената милиметрова (графична) хартия и от параметрите на получената зависимост изчислете неизвестните стойности на съпротивлението $R$ и капацитета $C$ . [4 т.]

Отговори

Решение

а) Формулата за импеданса $Z$ на веригата, изразен чрез $R$ , $C$ , $R_x$ и кръговата честота $\omega = 2\pi\nu$ , може да се получи по 2 метода:

I метод (използвайки векторни диаграми) Използва се фактът, че моментните стойности на величините в една променливотокова верига са проекциите върху предварително избрана от нас ос на въртящи се с ъглова скорост $\omega = 2\pi\nu$ вектори. Токовете и напреженията върху отделните елементи на веригата са дадени на фигурата.

Токовете през резисторите и напреженията върху тях са във фаза, докато токът $I_C$ през кондензатора изпреварва с фаза $\frac{\pi}{2}$ напрежението $U_C$ върху него. От чертежа се вижда, че $I = \sqrt{I_C{}^2 + I_R{}^2} = \sqrt{\frac{U_C{}^2}{(1/\omega C)^2} + \frac{U_R{}^2}{R^2}} = U_R\sqrt{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}}$ [0.2 т.] (2.1) и $U^2 = U_R{}^2 + U_{R_x}{}^2 - 2U_RU_{R_x}\cos(\pi - \varphi) = U_R{}^2 + U_{R_x}{}^2 + 2U_RU_{R_x}\cos\varphi$ . [0.2 т.] (2.2) Освен това $U_{R_x} = R_xI$ [0.1 т.] (2.3), $U = ZI$ [0.1 т.] (2.4) и $\cos\varphi = \frac{I_R}{I} = \frac{\frac{U_R}{R}}{U_R\sqrt{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}}} = \frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}}}$ [0.2 т.] (2.5). Замествайки (2.1), (2.3), (2.4) и (2.5) в (2.2), се получава $Z^2I^2 = \frac{I^2}{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}} + R_x{}^2I^2 + 2\frac{I}{\sqrt{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}}}R_xI\frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{(1/\omega C)^2} + \frac{1}{R^2}}}$ [0.2 т.] (2.6). След съкращения, коренуване и опростяване, $Z = \sqrt{R_x{}^2 + \frac{R^2 + 2RR_x}{1 + (\omega CR)^2}}$ . [3 т.] (2.7)

II метод (използвайки комплексни числа) Използва се фактът, че импедансът на схемата може да се пресмята по правилата за постояннотокови вериги, като се приеме, че съпротивлението на кондензатора е имагинерно число ( $Z_C = \frac{1}{i\omega C}$ ), а импедансът $Z$ на веригата е модулът на комплексния импеданс $\hat{Z}$ , получен в резултат на пресмятанията. Така, комплексният импеданс е $\hat{Z} = R_x + \frac{R.\frac{1}{i\omega C}}{R + \frac{1}{i\omega C}}$ [0.4 т.] $= \frac{R_x + R + i\omega CRR_x}{1 + i\omega CR} = \frac{(R_x + R + i\omega CRR_x)}{(1 + i\omega CR)}\cdot\frac{(1 - i\omega CR)}{(1 - i\omega CR)} = \frac{R_x + R + (\omega CR)^2R_x - i\omega CR^2}{1 + (\omega CR)^2}$ [0.6 т.]. След опростяване, за модула на комплексния импеданс се получава $\left|\hat{Z}\right| = \sqrt{\hat{Z}\hat{Z}^*} = \frac{\sqrt{\left[R_x + R + (\omega CR)^2R_x\right]^2 + (\omega CR^2)^2}}{1 + (\omega CR)^2} = \sqrt{R_x{}^2 + \frac{R^2 + 2RR_x}{1 + (\omega CR)^2}}$ [3 т.]. (2.7)

б) Токът $I$ и импедансът $Z$ се пресмятат по формулите $I = \frac{U}{R_x}$ и $Z = \frac{U_{eff}}{I} = \frac{U_{eff}}{U}R_x$ . [0.2 т.] Таблицата с добавените нови колони за стойностите на тока $I$ във веригата и импеданса $Z$ на веригата изглежда така (виж по-долу). [0.8 т.]

в) Формулата за импеданса на веригата (2.7) може да се преобразува до $Z^2 - R_x{}^2 = \frac{2R}{1 + (\omega CR)^2}R_x + \frac{R^2}{1 + (\omega CR)^2}$ , т.е. при променливи $y = Z^2 - R_x{}^2$ и $x = R_x$ , зависимостта $y = f(x)$ е линейна: $y = Ax + B$ , където параметрите $A$ и $B$ на линейната зависимост зависят от неизвестните $R$ и $C$ : $A = \frac{2R}{1 + (\omega CR)^2}$ (2.8), $B = \frac{R^2}{1 + (\omega CR)^2}$ (2.9) [0.4 т.] В таблицата по-долу е добавена колона за новата променлива $y$ и са изчислени нейните стойности. [0.6 т.]

г) Данните са начертани на графиката по-долу. [1 т.] От нея са определени коефициентите $A \approx 184$ $\Omega$ [0.5 т.] и $B \approx 91\,700$ $\Omega^2$ [0.5 т.]. Решавайки (2.8) и (2.9) спрямо $R$ и $C$ , се получава: $R = \frac{2B}{A}$ [0.5 т.], $C = \frac{\sqrt{4B - A^2}}{2\omega B}$ [0.5 т.]. Замествайки с получените стойности за $A$ и $B$ , $R \approx 997$ $\Omega$ [0.5 т.] и $C \approx 10{,}0$ μF [0.5 т.].

$R_x$ , $\Omega$	$U$ , V	$I$ , A	$Z$ , $\Omega$	$y = Z^2 - R_x{}^2$ , $\Omega^2$
50.0	34.2	0.6840	321.6	100927
100.0	63.5	0.6350	346.5	110062
150.0	87.6	0.5840	376.7	119403
200.0	107.2	0.5360	410.4	128428
250.0	122.9	0.4916	447.5	137756
300.0	135.6	0.4520	486.7	146877
350.0	145.9	0.4169	527.8	156073
400.0	154.3	0.3858	570.3	165242
450.0	161.2	0.3582	614.1	174619
500.0	167.0	0.3340	658.7	183886

Векторна диаграма: от общо начало излизат вертикален вектор I_C, хоризонтален I_R и наклонен I ≡ I_Rx; успоредник от векторите U_R ≡ U_C и U_Rx дава резултантния вектор U; ъгълът φ е отбелязан при U, а извита стрелка ω показва посоката на въртене. — Векторна диаграма към I метод на решението на Задача 2 а): токовете $I_C$ , $I_R$ и $I \equiv I_{R_x}$ и напреженията $U_R \equiv U_C$ , $U_{R_x}$ и $U$ , въртящи се с ъглова скорост $\omega$ ; $\varphi$ е ъгълът между $I$ и $U$ .

Графика с десет точки, легнали на права линия: по абсцисата R_x от 0 до 500 Ω, по ординатата Z² − R_x² от 100000 до 200000 Ω². В полето на графиката са изписани y = Ax + B, x = R_x, y = Z² − R_x², A = 184 Ω и B = 91700 Ω². — Графиката към решението на Задача 2 г): $y = Z^2 - R_x{}^2$ в зависимост от $x = R_x$ ; от линейната зависимост $y = Ax + B$ се определят $A = 184\ \Omega$ и $B = 91700\ \Omega^2$ .

Оригинал в Архива: esenni_2017_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2017_STsolutions.pdf