Съдържание

НЕСФ 2018, 11–12 клас — Задача 2. Кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика 2018, тема за 11.-12. клас (пета състезателна група) · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

(двете части на задачата са независими)

Част А Четири кондензатора с капацитети $C_1 = 1\ \mathrm{mF}$ и $C_2 = 2\ \mathrm{mF}$ са свързани по начина, показан на схемата вляво. Намерете еквивалентния електричен капацитет $C$ между краищата на тази верига. Начертайте еквивалентната схема, от която сте определили капацитета. [3 т.]

Верига с два кондензатора $C_1$ в горния клон, кондензатор $C_2$ вдясно и кондензатор $C_2$ в долен мостов клон. — Схемата на свързване на четирите кондензатора $C_1$ , $C_1$ , $C_2$ , $C_2$ .

Част Б Плосък кондензатор е отчасти запълнен с течен диелектрик с относителна диелектрична проницаемост $\varepsilon = 6$ , както е показано на фигурата вляво. Между диелектрика и останалата празна част от вътрешността на кондензатора има метална преграда с пренебрежима дебелина. Лицето на клемите на кондензатора е $S = 1\ \mathrm{m^2}$ , а разстоянието между плочите му е $d = 5\ \mathrm{mm}$ . Може да използвате, че диелектричната проницаемост на вакуума има стойност $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N.m^2)}$ .

Две вертикални плочи на разстояние $d$; до дясната плоча защрихован слой с ширина $x$ и метална преграда пред него. — Плосък кондензатор с лице на клемите $S$ и разстояние между плочите $d$ ; слой течен диелектрик с дебелина $x$ , отделен от празната част с метална преграда.

а) Преградата е отстранена и диелектрикът се стича на дъното на вътрешността на кондензатора, при което капацитетът му се повишава два пъти. Намерете на колко е равно $x$ , ако $x < d/2$ . [5 т.]

б) След премахването на преградата между краищата на кондензатора е подадено напрежение $U = 36\ \mathrm{V}$ . Определете заряда $q$ на кондензатора. Колко е електричната енергия $W$ на кондензатора? [2 т.]

Отговори

Решение

Част А Еквивалентната схема на свързване е дадена на фигурата вляво. [1,5 т.] Капацитетът между краищата на веригата е $C = C_2 + \frac{2C_1C_2}{2C_1 + C_2} = 3\ \mathrm{mF}$ . [1,5 т.]

Схема с кондензатор $C_2$ последователно на двойка успоредни кондензатори $C_1$, шунтирана от втори кондензатор $C_2$. — Еквивалентната схема на свързване към Част А: $C_2$ последователно с двата успоредни $C_1$ , а всичко това — успоредно на втория $C_2$ .

Част Б а) Преди отстраняването на преградата кондензаторът може да се представи като система от два последователно свързани кондензатора, както е показано на по-горната фигура вляво. [0,5 т.] Капацитетът в този случай е $C_I = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{\varepsilon d - (\varepsilon-1)x}$ . [1 т.] След като преградата е махната, кондензаторът е еквивалентен на системата от два успоредно свързани кондензатора, която е показана на по-долната фигура вляво. [0,5 т.] Площта $S_x$ на частта от електродите, която е залята от диелектричната течност, се получава от условието за запазване на обема на диелектрика: $xS = dS_x$ . [0,5 т.] Капацитетът придобива вида $C_{II} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(1 + \frac{(\varepsilon-1)x}{d}\right)$ . [0,5 т.] Дадено е, че $C_{II} = 2C_I$ . Получаваме, че $\frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(1 + \frac{(\varepsilon-1)x}{d}\right) = \frac{2\varepsilon\varepsilon_0 S}{\varepsilon d - (\varepsilon-1)x}$ . Оттук следва квадратно уравнение за $x$ от вида $(\varepsilon-1)^2 x^2 - (\varepsilon-1)^2 dx + \varepsilon d^2 = 0$ . [0,5 т.] Т.е. $x = \frac{\varepsilon - 1 \pm \sqrt{(\varepsilon-1)^2 - 4\varepsilon}}{2(\varepsilon-1)}\,d = \frac{5 \pm 1}{10}\,d$ . [1 т.] Като наложим изискването, че $x < d/2$ , получаваме $x = \frac{2d}{5} = 2\ \mathrm{mm}$ . [0,5 т.]

Два последователни кондензатора, единият празен с разстояние $d-x$, другият защрихован с ширина $x$. — Кондензаторът преди отстраняването на преградата: два последователно свързани кондензатора с лице $S$ и дебелини $d-x$ (вакуум) и $x$ (диелектрик).

Два успоредни кондензатора с разстояние $d$, горният празен с лице $S-S_x$, долният защрихован с лице $S_x$. — Кондензаторът след отстраняването на преградата: два успоредно свързани кондензатора с лица $S - S_x$ и $S_x$ и еднакво разстояние $d$ .

б) За така намереното $x$ в предното подусловие капацитетът на кондензатора е $C_{II} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(1 + \frac{(\varepsilon-1)x}{d}\right) = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(\varepsilon + 1 - \sqrt{(\varepsilon-1)^2 - 4\varepsilon}\right)$ . [0,5 т.] Зарядът на кондензатора е $q = C_{II}U = \frac{\varepsilon_0 SU}{2d}\left(\varepsilon + 1 - \sqrt{(\varepsilon-1)^2 - 4\varepsilon}\right) \approx 0{,}19\ \mu\mathrm{C}$ . [0,5 т.] Електричната енергия на кондензатора е $W = \frac{C_{II}U^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 SU^2}{4d}\left(\varepsilon + 1 - \sqrt{(\varepsilon-1)^2 - 4\varepsilon}\right) \approx 3{,}4\ \mu\mathrm{J}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2018_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2018_11-12solutions.pdf