Съдържание

НЕСФ 2018, 8. клас — Задача 2. Черна кутия с три съпротивления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика 2018, тема за 8. клас, втора възрастова група · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Целта на някои задачи по физика е да разберем какво има в кутия с неизвестно съдържание, като използваме резултатите от направени наблюдения или измервания. Такава кутия наричаме „черна кутия“. В задачите за електрически черни кутии трябва да разберем вида, броя, разположението и стойностите на конкретните елементи на електрически схеми

На фиг. 1 е показана „черна кутия“ с три извода. В нея се намира схема, съставена само от три резистора. Ако към изводите 1 и 3 свържем източник с напрежение $\mathrm{U} = 15\ \mathrm{V}$ , измереното с волтметър напрежение между изводите 1 и 2 е $\mathrm{U}_{12} = 6\ \mathrm{V}$ , а между 2 и 3 – $\mathrm{U}_{23} = 9\ \mathrm{V}$ . Когато свържем източника между изводите 2 и 3, между изводите 1 и 2 с волтметъра отчитаме напрежение $\mathrm{U}'_{12} = 10\ \mathrm{V}$ , а между изводите 1 и 3 напрежението е $\mathrm{U}'_{13} = 5\ \mathrm{V}$ .

Правоъгълник с три извода, означени 1 (вляво), 2 (вдясно) и 3 (отгоре). — фиг. 1. „Черна кутия“ с три извода 1, 2 и 3.

а) Начертайте възможните свързвания на трите съпротивления.Приведете аргументи за направения избор. [2 т.]

б) За всяка от схемите на свързване изразете съпротивленията на резисторите чрез най-малкото съпротивление в схемата, означено с R. [5 т.]

в) Ако към изводите 1 и 2 свържем източника на напрежение, какви ще бъдат стойностите на напреженията $\mathrm{U}''_{13}$ и $\mathrm{U}''_{23}$ ? [3 т.]

Отговори

Решение

а) Нека изводите 1 и 3 са краищата на едно от съпротивленията. Тогава другите две съпротивления могат да бъдат свързани едното между точките 1 и 2, а другото между точките 2 и 3 (фиг. 1, а), при което има възможност да се отчетат указаните напрежения. Съществува и друга възможност: свързваме две от съпротивленията последователно между точките 1 и 3, а третото съпротивление се свързва между 2 и разделителната точка на другите две съпротивления (фиг. 1, б). [2 т.]

Две схеми в пунктирани окръжности с изводи 1, 2, 3: отляво триъгълник от три резистора, отдясно звезда от три резистора с обща точка. — Фиг. 1, а (триъгълник с $R_{12}$ , $R_{23}$ , $R_{13}$ ) и Фиг. 1, б (звезда с $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ ) — двете възможни свързвания в черната кутия.

б) Нека разгледаме първата възможност (фиг. 1, а). При свързване на източника към 1 и 3 съпротивленията $\mathrm{R}_{12}$ и $\mathrm{R}_{23}$ [0,5 т.] са свързани последователно и

\frac{\mathrm{R}_{12}}{\mathrm{R}_{23}} = \frac{\mathrm{U}_{12}}{\mathrm{U}_{23}} = \frac{2}{3}.

[0,5 т.]

Когато източникът е свързан към 2 и 3, съпротивленията $\mathrm{R}_{12}$ и $\mathrm{R}_{13}$ са свързани последователно и

\frac{\mathrm{R}_{12}}{\mathrm{R}_{13}} = \frac{\mathrm{U}'_{12}}{\mathrm{U}'_{13}} = 2.

[0,5 т.]

От почленното разделяне на двете равенства намираме

\frac{\mathrm{R}_{13}}{\mathrm{R}_{23}} = \frac{1}{3}.

[0,5 т.]

Следователно имаме $\mathrm{R}_{13} < \mathrm{R}_{12} < \mathrm{R}_{23}$ , при което намираме $\mathrm{R}_{13} = \mathrm{R},\ \mathrm{R}_{12} = 2\mathrm{R},\ \mathrm{R}_{23} = 3\mathrm{R}$ [0,5 т.].

Във втория случай нека означим общата точка с 0 (фиг. 1, б). При свързване на източника към 1 и 3 напрежението $\mathrm{U}_{12} = \mathrm{U}_{10}$ , а $\mathrm{U}_{23} = \mathrm{U}_{03}$ . Тъй като $\mathrm{R}_1$ и $\mathrm{R}_3$ са свързани последователно [0,5 т.], имаме

\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_3} = \frac{\mathrm{U}_{10}}{\mathrm{U}_{03}} = \frac{\mathrm{U}_{12}}{\mathrm{U}_{23}} = \frac{2}{3}.

[0,5 т.]

От друга страна аналогично намираме

\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_3} = \frac{\mathrm{U}_{20}}{\mathrm{U}_{03}} = \frac{\mathrm{U}'_{12}}{\mathrm{U}'_{13}} = 2, \qquad \frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2} = \frac{1}{3}.

[1 т.]

Следователно имаме $\mathrm{R}_1 < \mathrm{R}_3 < \mathrm{R}_2$ , при което намираме $\mathrm{R}_1 = \mathrm{R},\ \mathrm{R}_3 = \frac{3}{2}\mathrm{R},\ \mathrm{R}_2 = 3\mathrm{R}$ [0,5 т.].

в) По първата схема имаме $\mathrm{U}_{13} + \mathrm{U}_{23} = \mathrm{U}$ [0,5 т.]. От $\mathrm{U}_{23} = \mathrm{U}_{13}\frac{\mathrm{R}_{23}}{\mathrm{R}_{13}} = 3\mathrm{U}_{13}$ [0,5 т.], намираме

\mathrm{U}_{13} = 3{,}75\ \mathrm{V},\ \mathrm{U}_{23} = 11{,}75\ \mathrm{V}.

[0,5 т.]

От втората схема имаме $\mathrm{U}_{13} = \mathrm{U}_{10}$ , $\mathrm{U}_{23} = \mathrm{U}_{02}$ . От $\mathrm{U}_{23} = \mathrm{U}_{13}\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_1} = 3\mathrm{U}_{13}$ [0,5 т.], намираме

\mathrm{U}_{13} = 3{,}75\ \mathrm{V},\ \mathrm{U}_{23} = 11{,}75\ \mathrm{V},

[0,5 т.]

т. е. двете схеми са еквивалентни. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2018_8problems.pdf · официални решения: esenni_2018_8solutions.pdf