НЕСФ 2018, Специална тема — Задача 1. Вектор на Пойнтинг

Национално есенно състезание по физика, гр. Сандански, 1-3 ноември 2018 г. — Специална тема · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Векторът на Пойнтинг $\vec{S}$ описва разпространението на електромагнитната (ЕМ) енергия в пространството. Дефинира се по следния начин. Посоката му съвпада с посоката на разпространение на енергията, а големината му е равна на енергията преминала за единица време през единица площ, перпендикулярна на посоката на $\vec{S}$. В тази задача ще изведете формула за $\vec{S}$ за монохроматична ЕМ вълна във вакуум, изразен чрез интензитета на електричното поле $\vec{E}$ и индукцията на магнитното поле $\vec{B}$. За целта следвайте стъпките, описани в долните подточки.

Упътване:

Теорема на Гаус: $\oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{dA} = \dfrac{q_{\mathrm{з}}}{\varepsilon_0}$, където интегрираме по повърхност, заграждаща заряд $q_{\mathrm{з}}$.

Теорема за циркулацията: $\oint \vec{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 I_{\mathrm{з}}$, където интегрираме по контур, заграждащ ток $I_{\mathrm{з}}$.

а) Най-напред да допуснем, че пространството е еднородно изпълнено с ЕМ енергия с плътност $\rho$, която се разпространява в определена посока, напр. в хоризонтално направление (фиг. 1), със скоростта на светлината c. Намерете количеството енергия (S), преминала за единица време през единица площ, перпендикулярна на посоката на разпространение. Полученият израз трябва да съдържа $\rho$ и c. [1 т.]

б) Тъй като пространството е изпълнено с електрично и магнитно поле, плътността на енергията е сума от плътността на енергията на електричното поле и тази на магнитното поле: $\rho = \rho_E + \rho_B$. За да намерите $\rho_E$, разгледайте зареден плосък кондензатор без диелектрик. Знаем, че в добро приближение на безкраен кондензатор, т.е. когато размерът на плочите е много по-голям от разстоянието между тях, електричното поле е локализирано изцяло между плочите на кондензатора, където то е еднородно. Знаем също така, че енергията на зареден кондензатор може да се интерпретира като енергия на електричното поле, което той създава. Следвайте стъпките:

Изведете формула за капацитета $C$ на безкраен плосък кондензатор, изразен чрез площта на плочата $A$, разстоянието между двете плочи d и фундаментални константи. Като междинна стъпка получете интензитета на електричното поле в обема на кондензатора с помощта на теоремата на Гаус. [1 т.]

в) Изведете формула за електростатичната енергия $W_E$ на кондензатора, изразена чрез капацитета $C$ и напрежението между плочите U. [1 т.]

г) Използвайки получения резултат, изведете формула за $\rho_E$, изразена чрез интензитета E и фундаментални константи. Приемете, че енергията на безкрайния кондензатор $W_E$ е съсредоточена изцяло в обема му. [1 т.]

д) Аналогично, за да намерите $\rho_B$, разгледайте соленоид, по който тече постоянен ток. В добро приближение на безкраен соленоид, когато дължината на соленоида е много по-голяма от радиуса му, полето е локализирано изцяло в обема на соленоида, където то е еднородно. Следвайте стъпките:

Изведете формула за индуктивността L на безкраен соленоид. Като междинна стъпка изведете магнитната индукция в обема на соленоида с помощта на теоремата за циркулацията. Означете дължината с l, площта на напречното сечение с $A$, а броя намотки на единица дължина с n. [1 т.]

е) Изведете формула за магнитната енергия $W_B$ на соленоида, изразена чрез индуктивността L и тока I. [1 т.]

ж) Използвайки получения резултат, изведете формула за $\rho_B$, изразена чрез индукцията $B$ и фундаментални константи. Приемете, че енергията на безкрайния соленоид $W_B$ е съсредоточена изцяло в обема му. [1 т.]

з) Напишете израз за плътността $\rho$. [1 т.]

и) Разгледайте електромагнитна вълна във вакуум, разпространяваща се по оста x, както е показано на фиг. 2. Връзката между големините на електричното поле и магнитното поле във всеки момент е $B = \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\,E$.

Изведете формула за големината S на вектора $\vec{S}$, в която участват полетата E и B. Използвайте резултата от подточка а), както и формулата за скоростта на светлината: $c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$. [1 т.]

й) Изведете формула за вектора $\vec{S}$, която трябва да задава не само големината на вектора, но и посоката му. Посоките на векторите $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{S}$ са указани на фиг. 2. [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2018_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2018_STsolutions.pdf