Съдържание

НЕСФ 2018, Специална тема — Задача 1. Вектор на Пойнтинг

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика, гр. Сандански, 1-3 ноември 2018 г. — Специална тема · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Векторът на Пойнтинг $\vec{S}$ описва разпространението на електромагнитната (ЕМ) енергия в пространството. Дефинира се по следния начин. Посоката му съвпада с посоката на разпространение на енергията, а големината му е равна на енергията преминала за единица време през единица площ, перпендикулярна на посоката на $\vec{S}$ . В тази задача ще изведете формула за $\vec{S}$ за монохроматична ЕМ вълна във вакуум, изразен чрез интензитета на електричното поле $\vec{E}$ и индукцията на магнитното поле $\vec{B}$ . За целта следвайте стъпките, описани в долните подточки.

а) Най-напред да допуснем, че пространството е еднородно изпълнено с ЕМ енергия с плътност $\rho$ , която се разпространява в определена посока, напр. в хоризонтално направление (фиг. 1), със скоростта на светлината c. Намерете количеството енергия (S), преминала за единица време през единица площ, перпендикулярна на посоката на разпространение. Полученият израз трябва да съдържа $\rho$ и c.

Фиг. 1. Потокът на електромагнитна енергия.

[1 т.]

Тъй като пространството е изпълнено с електрично и магнитно поле, плътността на енергията е сума от плътността на енергията на електричното поле и тази на магнитното поле: $\rho = \rho_E + \rho_B$ . За да намерите $\rho_E$ , разгледайте зареден плосък кондензатор без диелектрик. Знаем, че в добро приближение на безкраен кондензатор, т.е. когато размерът на плочите е много по-голям от разстоянието между тях, електричното поле е локализирано изцяло между плочите на кондензатора, където то е еднородно. Знаем също така, че енергията на зареден кондензатор може да се интерпретира като енергия на електричното поле, което той създава. Следвайте стъпките:

б) Изведете формула за капацитета $C$ на безкраен плосък кондензатор, изразен чрез площта на плочата $A$ , разстоянието между двете плочи d и фундаментални константи. Като междинна стъпка получете интензитета на електричното поле в обема на кондензатора с помощта на теоремата на Гаус. [1 т.]

в) Изведете формула за електростатичната енергия $W_E$ на кондензатора, изразена чрез капацитета $C$ и напрежението между плочите U. [1 т.]

г) Използвайки получения резултат, изведете формула за $\rho_E$ , изразена чрез интензитета E и фундаментални константи. Приемете, че енергията на безкрайния кондензатор $W_E$ е съсредоточена изцяло в обема му. [1 т.]

Аналогично, за да намерите $\rho_B$ , разгледайте соленоид, по който тече постоянен ток. В добро приближение на безкраен соленоид, когато дължината на соленоида е много по-голяма от радиуса му, полето е локализирано изцяло в обема на соленоида, където то е еднородно. Следвайте стъпките:

д) Изведете формула за индуктивността L на безкраен соленоид. Като междинна стъпка изведете магнитната индукция в обема на соленоида с помощта на теоремата за циркулацията. Означете дължината с l, площта на напречното сечение с $A$ , а броя намотки на единица дължина с n. [1 т.]

е) Изведете формула за магнитната енергия $W_B$ на соленоида, изразена чрез индуктивността L и тока I. [1 т.]

ж) Използвайки получения резултат, изведете формула за $\rho_B$ , изразена чрез индукцията $B$ и фундаментални константи. Приемете, че енергията на безкрайния соленоид $W_B$ е съсредоточена изцяло в обема му. [1 т.]

з) Напишете израз за плътността $\rho$ . [1 т.]

Разгледайте електромагнитна вълна във вакуум, разпространяваща се по оста x, както е показано на фиг. 2. Връзката между големините на електричното поле и магнитното поле във всеки момент е $B = \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\,E$ .

Фиг. 2. Векторите на електромагнитната вълна.

и) Изведете формула за големината S на вектора $\vec{S}$ , в която участват полетата E и B. Използвайте резултата от подточка а), както и формулата за скоростта на светлината: $c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ . [1 т.]

й) Изведете формула за вектора $\vec{S}$ , която трябва да задава не само големината на вектора, но и посоката му. Посоките на векторите $\vec{E}$ , $\vec{B}$ и $\vec{S}$ са указани на фиг. 2. [1 т.]

Упътване:

Теорема на Гаус: $\oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{dA} = \dfrac{q_{\mathrm{з}}}{\varepsilon_0}$ , където интегрираме по повърхност, заграждаща заряд $q_{\mathrm{з}}$ .

Теорема за циркулацията: $\oint \vec{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 I_{\mathrm{з}}$ , където интегрираме по контур, заграждащ ток $I_{\mathrm{з}}$ .

Решение

а) Задачата е подобна на задача на движещ се със скорост $c$ флуид с плътност $\rho$ в тръба, при което се търси преминалата маса за единица време през единица площ. Отговорът е $S = \rho c$ . [1 т.]

б) Първо търсим интензитета на полето, създадено от една плоча. Прилагаме теоремата на Гаус по повърхността, изобразена на фигурата, при което получаваме $E = \dfrac{q}{2\varepsilon_0 A}$ . Интензитетът, създаден от двете плочи, е $E = \dfrac{q}{\varepsilon_0 A}$ , а напрежението между тях е $U = Ed$ . Така получаваме $C = \dfrac{\varepsilon_0 A}{d}$ . [1 т.]

в) Нека си представим, че зареждаме постепенно кондензатора. В началото зарядът на плочите е нула, при което и интензитетът е нула. Работата, необходима за пренасяне на безкрайно малък заряд dq, е $dA = U dq = \dfrac{q}{C} dq$ , където q е вече натрупаният в хода на процеса заряд. За енергията имаме $W_E = \int_0^Q dA = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{C U^2}{2}$ . [1 т.]

г) Плътността е $\rho_E = \dfrac{W_E}{Ad}$ , т.е. $\rho_E = \dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ . [1 т.]

д) За да намерим индукцията, прилагаме теоремата за циркулацията по контура, изобразен на фигурата. Получаваме $B = \mu_0 n I$ , където n е броят намотки на единица дължина. За потока имаме $\Phi \equiv LI = NBA$ . Получаваме $L = \mu_0 n^2 A l$ . [1 т.]

е) Започваме с нулев ток, който увеличаваме постепенно до I. При увеличаване на тока се индуцира напрежение $\mathcal{E} = -L\dfrac{di}{dt}$ , което възпира увеличаването на тока. Мощността, която прилагаме, е $P = -\mathcal{E} i = i L \dfrac{di}{dt}$ . Следователно работата, която извършваме, за да увеличим тока от $i$ до $i + di$ , е $dA = P dt = L i \, di$ . Енергията е пълната работа; след интегриране на $dA$ получаваме $W_B = \dfrac{L I^2}{2}$ . [1 т.]

ж) Имаме $\rho_B = \dfrac{W_B}{Al} = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$ . [1 т.]

з) Плътността е сума от плътностите за двете полета: $\rho = \dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \dfrac{B^2}{2\mu_0}$ . [1 т.]

и) Използваме резултатите от подточки а) и з). След малко преобразувания получаваме: $S = \dfrac{EB}{\mu_0}$ . [1 т.]

й) От дефиницията на векторно произведение намираме $\vec{S} = \dfrac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2018_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2018_STsolutions.pdf