НЕСФ 2018, Специална тема — Задача 2. Механика

Национално есенно състезание по физика, гр. Сандански, 1-3 ноември 2018 г. — Специална тема · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Част 1

Фигура 3 показва изображение от телескопа Хъбъл на Fomalhaut b – първата планета извън Слънчевата система, наблюдавана във видима светлина. Планетата обикаля в орбита около звездата Fomalhaut. Мащабът на по-голямото изображение е показан в долния ляв ъгъл на Фиг. 3.

а) Планетата обикаля по кръгова орбита с радиус $R_B$ и период $T_B$. За две години тя изминава разстояние s, което може да бъде измерено от фигурата. Изведете израз за масата $M_B$ на звездата, съдържащ $R_B$, $T_B$, масата на Слънцето $M_S$ и фундаментални константи. [2 т.]

б) Оценете масата на звездата в Слънчеви маси. Приемете, че орбитата на планетата е кръгова и че равнината на орбитата съвпада с равнината на изображението. Спомнете си, че Земята обикаля около Слънцето по орбита с радиус 1 астрономична единица ($R_S = 1$ AU) за 1 година ($T_S = 1$ Y). [1 т.]

в) Въведете означението $r = \dfrac{M_B}{M_S}$. Оценете относителната грешка на r, при положение, че относителните грешки при измерване на s и $R_B$ са 10%. Напишете долна и горна граница за r.

Упътване: Нека $r = \alpha X^a Y^b Z^c$, където α, a, b и c са константи, а X, Y и Z са променливи. Ако дефинираме грешката в r като средноквадратично отклонение от средната стойност: $\Delta r = \sqrt{\overline{r^2}}$, относителната грешка се смята по следната формула:

$\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = \left(a\frac{\Delta X}{X}\right)^2 + \left(b\frac{\Delta Y}{Y}\right)^2 + \left(c\frac{\Delta Z}{Z}\right)^2$ [2 т.]

г) Част 2

Маслена капка с маса m и пренебрежими размери е изстреляна вертикално нагоре със скорост $v_0$. Силата на съпротивлението от страна на въздуха е пропорционална на скоростта: $F = -kv$. Капката се издига до височина h и след време $t_f$ пада в първоначалната точка от своята траектория. Земното ускорение е g. Намерете:

израз за скоростта v на капката като функция на времето t; [2 т.]

д) времето $t_h$, за което капката се издига до най-високата точка от траекторията си; [1 т.]

е) максималната височина h. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2018_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2018_STsolutions.pdf