Съдържание

НЕСФ 2022, 10. клас — Задача 2. Трептяща система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 11 – 13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за IV състезателна група (10. клас) · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

Теглилка с неизвестна маса $m$ е поставена в съд с неизвестна маса $M$ , който е закачен за безмасова пружина с неизвестен коефициент на еластичност $k$ , както е показано на фигурата вляво. Съдът може да се хлъзга без триене по хоризонталната повърхност. В началото системата се намира в равновесие, като пружината е разтегната с $\Delta x_0 = 8\ \mathrm{cm}$ при неизвестна приложена сила $F$ . Началната еластична потенциална енергия на пружината е $E_{\mathrm{п}0} = 320\ \mathrm{mJ}$ . След като външната сила $F$ престава да действа, механичната система започва да трепти хармонично. Сцеплението между теглилката и дъното на съда е достатъчно голямо, за да не се движи теглилката спрямо съда. Известно е, че максималното ускорение на съда по време на трептенето е $a_{\max} = 2\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Намерете коефициента на еластичност $k$ на пружината. [1 т.]

б) Определете големината на силата $F$ . [1 т.]

в) Каква е максималната скорост $v_{\max}$ на движение на съда по време на трептенето? [3,5 т.]

В положението на максимално свиване на пружината теглилката е мигновено дръпната извън съда. След това съдът продължава да трепти хармонично с наполовина по-малък период.

г) Намерете на колко са равни масите $m$ и $M$ . [2,5 т.]

д) Определете скоростта $v'$ на съда (след премахването на теглилката), когато пружината е наполовина разтегната спрямо нейното максимално разтегнато състояние. [2 т.]

Решение

Повтореният чертеж на трептящата система.

а) Началната еластична потенциална енергия на пружината е $E_{\mathrm{п}0} = \dfrac{k(\Delta x_0)^2}{2}$ [0,5 т.], откъдето $k = \dfrac{2E_{\mathrm{п}0}}{(\Delta x_0)^2} = 100\ \mathrm{N/m}$ . [0,5 т.]

б) Външната сила се уравновесява от еластичната сила: $F = k\Delta x_0 = \dfrac{2E_{\mathrm{п}0}}{\Delta x_0} = 8\ \mathrm{N}$ . [1 т.]

в) Съдът има максимално ускорение в положенията на максимално свиване или разтягане на пружината. [0,5 т.] Тогава $(m + M)a_{\max} = k\Delta x_0$ , откъдето $m + M = \dfrac{k\Delta x_0}{a_{\max}} = \dfrac{2E_{\mathrm{п}0}}{\Delta x_0 a_{\max}}$ . [1 т.] От закона за запазване на пълната механична енергия $E$ на системата следва, че скоростта на съда е максимална, когато пружината е неразтегната и съответно тогава няма еластична потенциална енергия: $E = \dfrac{(m+M)v_{\max}^2}{2} = E_{\mathrm{п}0}$ . [1 т.] Следователно $v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E_{\mathrm{п}0}}{m+M}} = \sqrt{\Delta x_0 a_{\max}} = 0{,}4\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

г) Първоначалният период на трептене е $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m+M}{k}}$ . [0,3 т.] След премахването на теглилката съдът трепти с период $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}$ . [0,2 т.] Следователно $\sqrt{\dfrac{M}{k}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m+M}{k}}$ и $M = \dfrac{m+M}{4} = \dfrac{E_{\mathrm{п}0}}{2\Delta x_0 a_{\max}} = 1\ \mathrm{kg}$ . [1 т.] Оттук $m = 3M = \dfrac{3E_{\mathrm{п}0}}{2\Delta x_0 a_{\max}} = 3\ \mathrm{kg}$ . [1 т.]

д) Когато пружината е наполовина разтегната спрямо нейното максимално разтегнато състояние, пълната механична енергия на трептящата система е $E = \dfrac{Mv'^2}{2} + \dfrac{k}{2}\left(\dfrac{\Delta x_0}{2}\right)^2 = \dfrac{Mv'^2}{2} + \dfrac{E_{\mathrm{п}0}}{4} = E_{\mathrm{п}0}$ . [1 т.] Следователно получаваме, че $v' = \sqrt{\dfrac{3E_{\mathrm{п}0}}{2M}} = \sqrt{3\Delta x_0 a_{\max}} \approx 0{,}7\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2023_10problems.pdf · официални решения: esenni_2023_10solutions.pdf