Съдържание

НЕСФ 2022, 11. клас — Задача 2. Трептяща система. Рамка в магнитно поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 12-13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за 11. клас (V състезателна група) · 12 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

Част А и Част Б са независими.

Част А. Трептяща система

Честотата на малките хармонични трептения на тежко топче върху лека, закрепена хоризонтално спица (фиг. 2, а), е $\nu_1$ . Когато топчето е закрепено към вертикална пружина (фиг. 2, б), честотата на хармоничните трептения е $\nu_2$ . На колко ще бъде равна честотата на трептене $\nu$ на топчето, окачено на пружината, когато другият ѝ край е закачен на спицата (фиг. 2, в)? [5 т.]

Три схеми една до друга: а) хоризонтална спица със закрепено в края топче и двупосочна вертикална стрелка; б) вертикална пружина, закачена за неподвижна опора, с топче на долния край; в) същото, но опората е спицата. — Фиг. 2 — а) топче върху хоризонтално закрепена спица; б) топче на вертикална пружина; в) топче на пружина, чийто горен край е закачен на спицата.

Част Б. Рамка в магнитно поле

П-образна проводникова рамка е окачена на хоризонтална ос и се намира в еднородно вертикално насочено магнитно поле с индукция $B = 0{,}5\ \mathrm{T}$ (фиг. 3). Рамката е съставена от пръчка с дължина $l = 0{,}3\ \mathrm{m}$ и маса $m = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ и две пръчки с пренебрежима маса и всяка с дължина $h = 0{,}5\ \mathrm{m}$ . През рамката се пропуска ток $I = 10\ \mathrm{A}$ за интервал от време $\tau = 0{,}1\ \mathrm{s}$ . Намерете максималния ъгъл $\alpha_{\max}$ на отклонение на рамката от вертикалата, като пренебрегнете отместването ѝ от равновесното положение за времето $\tau$ . Приемете земното ускорение $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ . Полезна формула $2\sin^2(\alpha/2) = 1 - \cos\alpha$ . [5 т.]

П-образна рамка, окачена с две шарнирни точки на хоризонтална ос под щрихована опора; ширина $l$, височина $h$; вертикални стрелки нагоре означават полето $B$, стрелка $I$ по дясното рамо, стрелка $g$ надолу вляво. — Фиг. 3 — П-образна рамка, окачена на хоризонтална ос, в еднородно вертикално магнитно поле $B$ ; долната пръчка има дължина $l$ , страничните — дължина $h$ , токът е $I$ .

Отговори

Решение

Задача 2А. Честотите на трептене $\nu_1$ и $\nu_2$ са свързани с коефициентите на еластичност на връщащата сила съответно $k_1$ и $k_2$ .

\nu_1=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1}{m}}, \qquad \nu_2=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_2}{m}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Системата от фиг. 2, в можем да моделираме с две последователно свързани пружини съответно с коефициенти на еластичност $k_1$ и $k_2$ (фиг. 3). В точката на свързване имаме равенство на еластичните сили

k_1x_1=k_2x_2, \qquad \textbf{[1 т.]}

а тялото с маса $m$ се движи под действието на еластична сила, по големина равна на

F=k_2x_2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тъй като общото отместване $x=x_1+x_2$ [0,5 т.], еластичната сила, действаща на тялото, е

F=k_2x_2=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\,x=kx, \qquad \textbf{[1 т.]}

където $k=\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}$ е коефициентът на еластичност на пружината, заменяща двете последователно свързани пружини. Тогава честотата на трептене $\nu$ на тялото е

\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1k_2}{(k_1+k_2)m}}=\frac{\nu_1\nu_2}{\sqrt{\nu_1^2+\nu_2^2}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Задача 2Б. На пръчката действа перпендикулярна на равнината на рамката магнитна сила

F=IBl. \qquad \textbf{[1 т.]}

След време $\tau$ пръчката ще има скорост

\upsilon=a\tau=\frac{F\tau}{m}=\frac{IBl\tau}{m}. \qquad \textbf{[1 т.]}

От закона за запазване на енергията имаме

\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh_0=mgh(1-\cos\alpha_{\max}), \qquad \textbf{[1 т.]}

което можем да препишем във вида

\sin\frac{\alpha_{\max}}{2}=\frac{\upsilon}{2\sqrt{gh}}=\frac{IBl\tau}{2m\sqrt{gh}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

След заместване с числените стойности намираме

\sin\frac{\alpha_{\max}}{2}=0{,}3388 \quad \rightarrow \quad \alpha_{\max}\approx 40^{\circ}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2023_11problems.pdf · официални решения: esenni_2023_11solutions.pdf