Съдържание

НЕСФ 2022, 11. клас — Задача 1. Презареждане на кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 12-13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за 11. клас (V състезателна група) · 12 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

Електрична верига се състои от два заредени кондензатора с различни капацитети $C_1$ и $C_2$ , резистор със съпротивление $R$ и превключвател $K$ (фиг. 1). Първоначално ключът $K$ е отворен, като напреженията на кондензаторите са съответно $U_1$ и $U_2$ . След затварянето на ключа $K$ през резистора протича общ заряд $q_0 = 10\ \mu\mathrm{C}$ .

Затворен контур: горе проводник, вляво кондензатор $C_1$, вдясно кондензатор $C_2$, долу последователно свързани резистор $R$ и отворен ключ $K$. — Фиг. 1 — верига от два заредени кондензатора $C_1$ и $C_2$ , резистор $R$ и ключ $K$ .

а) Определете напрежението на всеки един от кондензаторите след протичането на заряда $q_0$ . [3 т.]

б) Покажете, че в произволен момент $t$ стойността на тока $I(t)$ през резистора е пропорционална на заряда $\Delta q(t)$ , който остава да протече през резистора до анулирането на тока. [3 т.]

в) Намерете заряда $q(t)$ , който е преминал през резистора към момента, когато отношението на тока $I(t)$ към максималния ток $I_0$ е $\alpha = 0{,}3$ . [4 т.]

Отговори

Решение

а) Протичането на заряда се прекратява при изравняване на напреженията на кондензаторите, които стават равни на $U_0$ . При този процес се запазва общият заряд на кондензаторите

q_1+q_2=q_1'+q_2', \qquad \textbf{[1 т.]}

като са изпълнени равенствата $q_1=C_1U_1$ , $q_2=C_2U_2$ , $q_1'=C_1U_0$ , $q_2'=C_2U_0$ . [1 т.] След заместване в горното равенство намираме

U_0=\frac{C_1U_1+C_2U_2}{C_1+C_2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

б) В произволен момент $t$ , когато токът през резистора е $I(t)$ , зарядите на кондензаторите са съответно

q_1(t)=q_1'+\Delta q(t), \qquad q_2(t)=q_2'-\Delta q(t), \qquad \textbf{[1 т.]}

където $\Delta q(t)$ е зарядът, който остава да протече до анулирането на тока. [0,5 т.] В момента $t$ напрежението на всеки от кондензаторите е

U_1(t)=\frac{q_1(t)}{C_1}, \quad U_2(t)=\frac{q_2(t)}{C_2}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

а токът през резистора е

I(t)=\frac{U_1(t)-U_2(t)}{R}=\frac{\Delta q(t)}{R}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\sim \Delta q(t). \qquad \textbf{[1 т.]}

в) При затваряне на ключа $K$ в момента $t=0$ токът е максимален, т. е. $I(0)=I_0$ , [0,5 т.] а зарядът, който трябва да протече през резистора, е $\Delta q(0)=q_0$ [0,5 т.]. Когато токът стане $I(t)=\alpha I_0$ [0,5 т.], остава да протече заряд $\Delta q(t)=q_0-q(t)$ [0,5 т.]. Тогава имаме

\frac{I(t)}{I(0)}=\frac{\Delta q(t)}{\Delta q(0)} \quad \rightarrow \quad \frac{\alpha I_0}{I_0}=\frac{q_0-q(t)}{q_0}. \qquad \textbf{[1 т.]}

От последното равенство намираме

q(t)=q_0(1-\alpha)=7\ \mu\mathrm{C}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2023_11problems.pdf · официални решения: esenni_2023_11solutions.pdf