НЕСФ 2022, 8. клас — Задача 1

• 1.1. Четири възможни случая: $v_B = 40$ km/h, $72$ km/h, $70$ km/h и $42$ km/h. При $72$ km/h и при $70$ km/h автобусът от спирка $B$ превишава $v_{\max} = 50$ km/h.

  Случаите „един срещу друг, като се разминават“ и „движение в противоположни посоки“ дават $v_B = -40$ km/h и $-42$ km/h, т.е. са невъзможни; случаят „един срещу друг, без да се разминават“ отпада, защото $v_A t > s_0$.

• 1.2. $v_{\mathrm{в}} = 11\ \mathrm{m/s}$

  Времето на полета до $B$ е 20 min при вятър от $A$ към $B$ (пристигане в 9:05 ч.) или 22 min при вятър в обратна посока (пристигане в 9:07 ч.).

Решение 1.1. Нека за време $t$ автобусите изминават път $s_A = v_A t = 56\ \mathrm{km/h} \cdot 6/60\ \mathrm{h} = 5.6\ \mathrm{km}$ и $s_B = v_B t$, като с индекс $A$ ще означаваме величините отнасящи се за автобуса тръгнал от спирка $A$, а с индекс $B$ величините отнасящи се за другия автобус. За яснота избираме спирка $B$ да се намира вдясно от спирка $A$. Да пресметнем скоростта $v_B$ за всички възможни начини на движение на двата автобуса:

• при движение надясно, като автобус A изпреварва автобус B: $s_A = s_0 + s_B + s$, $v_B = (s_A - s_0 - s)/t = (5.6 - 0.1 - 1.5)/0.1\ \mathrm{km/h} = 40\ \mathrm{km/h} < v_{\max}$, (1 т.)
• при движение наляво, като автобус B изпреварва автобус A: $s_B = s_0 + s_A + s$, $v_B = (s_0 + s_A + s)/t = (0.1 + 5.6 + 1.5)/0.1\ \mathrm{km/h} = 72\ \mathrm{km/h} > v_{\max}$, (1 т.)
• при движение надясно, без да се изпреварват: $s_A + s = s_0 + s_B$, $v_B = (s_A + s - s_0)/t = (5.6 + 1.5 - 0.1)/0.1\ \mathrm{km/h} = 70\ \mathrm{km/h} > v_{\max}$, (1 т.)
• при движение наляво, без да се изпреварват: $s_A - s = s_B - s_0$, $v_B = (s_A - s + s_0)/t = (5.6 - 1.5 + 0.1)/0.1\ \mathrm{km/h} = 42\ \mathrm{km/h} < v_{\max}$, (1 т.)
• при движение един срещу друг, като се разминават: $s = s_A + s_B - s_0$, $v_B = (s - s_A + s_0)/t = (1.5 - 5.6 + 0.1)/0.1\ \mathrm{km/h} = -40\ \mathrm{km/h} < 0$, отрицателната скорост показва, че автобусите не са се движили така, (1 т.)
• движение в противоположни посоки: $s = s_A + s_B + s_0$, $v_B = (s - s_A - s_0)/t = (1.5 - 5.6 - 0.1)/0.1\ \mathrm{km/h} = -42\ \mathrm{km/h} < 0$, отрицателната скорост показва, че автобусите не са се движили така, (0.5 т.)
• един срещу друг, без да се разминават: тъй като $v_A t > s_0$ то автобусите не могат да се движат един срещу друг без да се разминават. (0.5 т.)

Решение 1.2. Средната скорост на движение е $v_{\mathrm{ср}} = s_{ABA}/t_{ABA} = 2s/(t_{AB} + t_{BA})$. (1 т.) Ако посоката на вятъра е от $A$ към $B$ то $t_{AB} = s/(v + v_{\mathrm{в}})$, (0.5 т.) а $t_{BA} = s/(v - v_{\mathrm{в}})$ (0.5 т.) или $v_{\mathrm{ср}} = 2s/[s/(v + v_{\mathrm{в}}) + s/(v - v_{\mathrm{в}})] = (v^2 - v_{\mathrm{в}}^2)/v$. (0.5 т.) Така получаваме $v_{\mathrm{в}}^2 = v^2 - v_{\mathrm{ср}} v = (121^2 - 121 \cdot 120)\ (\mathrm{m/s})^2 = 121\ (\mathrm{m/s})^2$ (0.5 т.) или $v_{\mathrm{в}} = 11\ \mathrm{m/s}$. (0.5 т.)

Ако вятърът духа от $A$ към $B$, то скоростта на самолета ще е $v = (121 + 11)\ \mathrm{m/s} = 132\ \mathrm{m/s}$, времето на полет ще е $t = s/v = 158400/132\ \mathrm{s} = 1200\ \mathrm{s} = 20\ \mathrm{min}$ и самолетът ще пристигне в $B$ в 9:05 ч. (0.25 т.) Ако вятърът духа в обратна посока, то $v = (121 - 11)\ \mathrm{m/s} = 120\ \mathrm{m/s}$, времето на полет ще е $t = s/v = 158400/120\ \mathrm{s} = 1320\ \mathrm{s} = 22\ \mathrm{min}$ и самолетът ще пристигне в $B$ в 9:07 ч. (0.25 т.)