Съдържание

НЕСФ 2022, Специална тема — Задача 2. Ядрен магнитен резонанс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 11-13 ноември 2022 г. — Специална тема · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

И в трите задачи можете да приемете като дадени следните физични константи: земно ускорение, $g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$ ; число на Авогадро, $N_\mathrm{A} = 6.02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; константа на Планк, $h = 6.63\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; редуцирана константа на Планк, $\hbar = h/(2\pi) = 1.05\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; електрична проницаемост на вакуума, $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ; магнитна проницаемост на вакуума, $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ ; скорост на светлината във вакуум, $c = 3.00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ; елементарен електричен заряд, $e = 1.60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

Условие

Протонът може да бъде оприличен (само илюстративно) на малко кълбо, въртящо се около собствената си ос (фиг. 2, а). Това въртене се нарича спин и отговаря на спинов момент на импулса $\vec S$ , наричан накратко също спин, с големина:

S = \frac{\hbar}{2}

където $\hbar = h/(2\pi)$ е редуцираната константа на Планк. За разлика от въртящо се кълбо обаче протонът не може да ускорява или забавя въртенето си, т.е. неговият спин може да се изменя само по посока, но не и по големина. Поради спина протонът е еквивалентен на кръгов ток и притежава собствен магнитен момент $\vec p_\mathrm{m}$ с големина:

p_\mathrm{m} = 1.40\times 10^{-26}\ \mathrm{A.m^2}.

Векторът на магнитния момент на протона е еднопосочен с вектора на спиновия му момент (вж. фиг. 2, а).

Кристалче захар (т.е. захароза с химична формула $\mathrm{C_{12}H_{22}O_{11}}$ ) с маса $m = 1.00\ \mathrm{mg}$ се намира в еднородно външно магнитно поле с индукция $B_0 = 5.00\ \mathrm{T}$ в посока на оста $Z$ на координатната система. Можете да разглеждате кристалчето като материална точка в центъра на координатната система. В състояние на равновесие магнитните моменти на всички протони във водородните атоми са ориентирани по посока на магнитното поле. Приемете, че ядрата на въглерода и кислорода нямат магнитен момент.

Фиг. 2: (а) протонът като въртящо се кълбо със спин $\vec S$ и магнитен момент $\vec p_\mathrm{m}$; (б) кристалчето в центъра на координатната система — $\vec M$ под ъгъл $\theta$ спрямо $\vec B_0$ по оста $Z$ и намотката на разстояние $d$ по оста $Y$. — Фиг. 2: (а) протонът като въртящо се кълбо със спин $\vec S$ и магнитен момент $\vec p_\mathrm{m}$ ; (б) кристалчето в центъра на координатната система — $\vec M$ под ъгъл $\theta$ спрямо $\vec B_0$ по оста $Z$ и намотката на разстояние $d$ по оста $Y$ .

а) Пресметнете големината $M$ на общия магнитен момент и $L$ на общия момент на импулса на кристалчето. [2 т.]

б) Върху кристалчето за кратко е приложено допълнително магнитно поле с индукция по оста $X$ . При това магнитните моменти на протоните се „накланят“ в една и съща посока в равнината $XZ$ , под ъгъл $\theta = 30°$ спрямо оста $Z$ (фиг. 2, б). Определете големината и посоката на общия въртящ момент $\vec T$ , действащ на протоните в кристалчето, след като допълнителното магнитно поле бъде изключено? [1,5 т.]

в) След изключване на допълнителното магнитно поле, магнитният момент на кристалчето започва да прецесира, т.е. векторът $\vec M$ „описва“ конична повърхност около вектора $\vec B_0$ , както е илюстрирано на фиг. 2, б. Получете израз за ъгловата скорост $\omega$ на прецесията и пресметнете числената ѝ стойност. [3 т.]

г) На разстояние $d = 5.0\ \mathrm{cm}$ по оста $Y$ се намира единична кръгова намотка с площ на напречното сечение $A = 1.0\ \mathrm{cm^2}$ (вж. фиг. 2, б). Равнината на намотката е перпендикулярна на оста $Y$ . Определете ефективната стойност $\mathcal{E}_\mathrm{eff}$ на индуцираното в намотката ЕДН поради прецесията на магнитния момент на кристалчето. [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) Моларната маса на захарозата е:

(1)\qquad \mu = 12\times 12\ \mathrm{g/mol} + 22\times 1\ \mathrm{g/mol} + 11\times 16\ \mathrm{g/mol} = 342\ \mathrm{g/mol}.

Следователно кристалчето съдържа количество вещество

(2)\qquad n = \frac{m}{\mu} = \frac{1.0\times 10^{-3}\ \mathrm{g}}{342\ \mathrm{g/mol}} \approx 2.92\times 10^{-6}\ \mathrm{mol}

и съответно:

(3)\qquad N = nN_\mathrm{A} \approx 1.76\times 10^{18}

молекули захароза. Понеже една молекула захароза съдържа 22 атома водород, общият брой атоми водород (и съответно протони) е:

(4)\qquad N_\mathrm{H} = 22N \approx 3.87\times 10^{19}. \qquad \textbf{[1.0]}

Тъй като магнитният момент на всички протони е в една посока, общият магнитен момент на кристалчето е:

(5)\qquad M = N_\mathrm{H}p_\mathrm{m} = \frac{22mp_\mathrm{m}N_\mathrm{A}}{\mu} \approx 5.42\times 10^{-7}\ \mathrm{A.\,m}, \qquad \textbf{[0.5]}

а общият момент на импулса (общият спин):

(6)\qquad L = N_\mathrm{H}S = \frac{11mN_\mathrm{A}\hbar}{\mu} \approx 2.03\times 10^{-15}\ \mathrm{kg.\,m^2/s}, \qquad \textbf{[0.5]}

б) Върху магнитен дипол, поставен в магнитно поле, действа въртящ момент:

(7)\qquad \vec T = \vec M\times\vec B_0 = (M\sin\theta\,\hat x + M\cos\theta\,\hat z)\times B_0\hat z = -MB_0\sin\theta\,\hat y, \qquad \textbf{[0.5]}

защото $\hat z\times\hat z = 0$ и $\hat x\times\hat z = -\hat y$ . Следователно големината на въртящия момент е:

(8)\qquad T = MB_0\sin\theta \approx 1.36\times 10^{-6}\ \mathrm{N.\,m}. \qquad \textbf{[0.5]}

Посоката на $\vec T$ е в отрицателната посока на оста $Y$ . [0.5]

в) Скоростта, с която се променя моментът на импулса на кристалчето, е:

(9)\qquad \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \vec T. \qquad \textbf{[0.5]}

При прецесия векторът $\vec L$ се върти с постоянна ъглова скорост $\vec\omega$ , успоредна на посоката на магнитното поле, т.е. по оста $Z$ . Следователно:

(10)\qquad \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \vec\omega\times\vec L, \qquad \textbf{[0.5]}

откъдето следва:

(11)\qquad \left|\frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t}\right| = \omega L\sin\theta. \qquad \textbf{[0.5]}

Като вземем предвид израза (5) за общия магнитен момент, (6) за общия момент на импулса и (8) за големината на въртящия момент, получаваме уравнението:

(12)\qquad \frac{11mN_\mathrm{A}\hbar\sin\theta}{\mu}\,\omega = \frac{22mp_\mathrm{m}N_\mathrm{A}B_0\sin\theta}{\mu}, \qquad \textbf{[0.5]}

откъдето намираме кръговата честотата на прецесия:

(13)\qquad \omega = \frac{2p_\mathrm{m}B_0}{\hbar} \approx 1.33\times 10^{9}\ \mathrm{rad/s}, \qquad \textbf{[1.0]}

г) При прецесията на магнитния момент, се променят неговите компоненти по $X$ и $Y$ . Магнитното поле, дължащо се на $X$ компонентата на магнитния момент, не води до магнитен поток през намотката. [0.5]

Следователно индуцираното в намотката ЕДН се дължи единствено на променливата $Y$ компонента:

(14)\qquad M_y(t) = -M\sin\theta\sin(\omega t), \qquad \textbf{[0.5]}

която създава в центъра на навивката променливо магнитно поле с индукция:

(15)\qquad B_y(t) = \frac{\mu_0 M_y(t)}{2\pi d^3} = -\frac{\mu_0 M\sin\theta\sin(\omega t)}{2\pi d^3}. \qquad \textbf{[0.5]}

Понеже намотката е с малки размери, можем да приемем, че полето през напречното ѝ сечение е практически еднородно. Следователно магнитният поток през намотката е:

(16)\qquad \Phi(t) = B_y(t)A = -\frac{\mu_0 MA\sin\theta\sin(\omega t)}{2\pi d^3}. \qquad \textbf{[0.5]}

Съгласно със закона на Фарадей, в намотката се индуцира променливо напрежение:

(17)\qquad \mathcal{E}(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mu_0 MA\omega\sin\theta\cos(\omega t)}{2\pi d^3}. \qquad \textbf{[0.5]}

Следователно ефективната стойност на напрежението в намотката е:

(18)\qquad \mathcal{E}_\mathrm{eff} = \frac{\mathcal{E}_{\max}}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2\,\mu_0\omega MA\sin\theta}{4\pi d^3} \approx 4.1\times 10^{-5}\ \mathrm{V}. \qquad \textbf{[1.0]}

Прецесия на общия магнитен момент $\vec M$ около $\vec B_0$ по оста $Z$; въртящият момент $\vec T$ е насочен по отрицателната посока на оста $Y$. — Прецесия на общия магнитен момент $\vec M$ около $\vec B_0$ по оста $Z$ ; въртящият момент $\vec T$ е насочен по отрицателната посока на оста $Y$ .

Оригинал в Архива: esenni_2023_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2023_STsolutions.pdf