НЕСФ 2022, Специална тема — Задача 2. Ядрен магнитен резонанс

Автор: Olympiads XYZ · транскрипция на официалните материали

Автоматична транскрипция · предстои повторна проверка срещу оригинала

Редактирай тази страница

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 11-13 ноември 2022 г. — Специална тема · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

И в трите задачи можете да приемете като дадени следните физични константи: земно ускорение, g=9.80 m/s2g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}; число на Авогадро, NA=6.02×1023 mol−1N_\mathrm{A} = 6.02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}; константа на Планк, h=6.63×10−34 J.sh = 6.63\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}; редуцирана константа на Планк, ℏ=h/(2π)=1.05×10−34 J.s\hbar = h/(2\pi) = 1.05\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}; електрична проницаемост на вакуума, ε0=8.85×10−12 F/m\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}; магнитна проницаемост на вакуума, μ0=4π×10−7 H/m\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}; скорост на светлината във вакуум, c=3.00×108 m/sc = 3.00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}; елементарен електричен заряд, e=1.60×10−19 Ce = 1.60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}.

Условие

Протонът може да бъде оприличен (само илюстративно) на малко кълбо, въртящо се около собствената си ос (фиг. 2, а). Това въртене се нарича спин и отговаря на спинов момент на импулса S⃗\vec S, наричан накратко също спин, с големина:

S=ℏ2S = \frac{\hbar}{2}

където ℏ=h/(2π)\hbar = h/(2\pi) е редуцираната константа на Планк. За разлика от въртящо се кълбо обаче протонът не може да ускорява или забавя въртенето си, т.е. неговият спин може да се изменя само по посока, но не и по големина. Поради спина протонът е еквивалентен на кръгов ток и притежава собствен магнитен момент p⃗m\vec p_\mathrm{m} с големина:

pm=1.40×10−26 A.m2.p_\mathrm{m} = 1.40\times 10^{-26}\ \mathrm{A.m^2}.

Векторът на магнитния момент на протона е еднопосочен с вектора на спиновия му момент (вж. фиг. 2, а).

Кристалче захар (т.е. захароза с химична формула C12H22O11\mathrm{C_{12}H_{22}O_{11}}) с маса m=1.00 mgm = 1.00\ \mathrm{mg} се намира в еднородно външно магнитно поле с индукция B0=5.00 TB_0 = 5.00\ \mathrm{T} в посока на оста ZZ на координатната система. Можете да разглеждате кристалчето като материална точка в центъра на координатната система. В състояние на равновесие магнитните моменти на всички протони във водородните атоми са ориентирани по посока на магнитното поле. Приемете, че ядрата на въглерода и кислорода нямат магнитен момент.

Фиг. 2: (а) протонът като въртящо се кълбо със спин $\vec S$ и магнитен момент $\vec p_\mathrm{m}$; (б) кристалчето в центъра на координатната система — $\vec M$ под ъгъл $\theta$ спрямо $\vec B_0$ по оста $Z$ и намотката на разстояние $d$ по оста $Y$.
Фиг. 2: (а) протонът като въртящо се кълбо със спин S⃗\vec S и магнитен момент p⃗m\vec p_\mathrm{m}; (б) кристалчето в центъра на координатната система — M⃗\vec M под ъгъл θ\theta спрямо B⃗0\vec B_0 по оста ZZ и намотката на разстояние dd по оста YY.

а) Пресметнете големината MM на общия магнитен момент и LL на общия момент на импулса на кристалчето. [2 т.]

б) Върху кристалчето за кратко е приложено допълнително магнитно поле с индукция по оста XX. При това магнитните моменти на протоните се „накланят“ в една и съща посока в равнината XZXZ, под ъгъл θ=30°\theta = 30° спрямо оста ZZ (фиг. 2, б). Определете големината и посоката на общия въртящ момент T⃗\vec T, действащ на протоните в кристалчето, след като допълнителното магнитно поле бъде изключено? [1,5 т.]

в) След изключване на допълнителното магнитно поле, магнитният момент на кристалчето започва да прецесира, т.е. векторът M⃗\vec M „описва“ конична повърхност около вектора B⃗0\vec B_0, както е илюстрирано на фиг. 2, б. Получете израз за ъгловата скорост ω\omega на прецесията и пресметнете числената ѝ стойност. [3 т.]

г) На разстояние d=5.0 cmd = 5.0\ \mathrm{cm} по оста YY се намира единична кръгова намотка с площ на напречното сечение A=1.0 cm2A = 1.0\ \mathrm{cm^2} (вж. фиг. 2, б). Равнината на намотката е перпендикулярна на оста YY. Определете ефективната стойност Eeff\mathcal{E}_\mathrm{eff} на индуцираното в намотката ЕДН поради прецесията на магнитния момент на кристалчето. [3,5 т.]

Отговори

Покажи отговорите

Решение

Покажи официалното решение

Оригинал в Архива: esenni_2023_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2023_STsolutions.pdf