Съдържание

НЕСФ 2022, Специална тема — Задача 3. Сапунен мехур

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 11-13 ноември 2022 г. — Специална тема · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

И в трите задачи можете да приемете като дадени следните физични константи: земно ускорение, $g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$ ; число на Авогадро, $N_\mathrm{A} = 6.02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; константа на Планк, $h = 6.63\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; редуцирана константа на Планк, $\hbar = h/(2\pi) = 1.05\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; електрична проницаемост на вакуума, $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ; магнитна проницаемост на вакуума, $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ ; скорост на светлината във вакуум, $c = 3.00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ; елементарен електричен заряд, $e = 1.60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

Условие

От сапунен разтвор с показател на пречупване $n = 1.35$ е издут сферичен мехур. Мехурът е осветен с естествена разсеяна светлина и е сниман през цветен филтър, който пропуска монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ . Получената снимка е показана на фиг. 3. Приемете, че мехурът има постоянна (неизвестна) дебелина $d$ по цялата си повърхност.

Като правите измервания по снимката, определете дебелината $d$ на сапунения мехур. Приемете, че дебелината на мехура е много по-малка от неговия радиус $R$ и фотоапаратът се намира от мехура на разстояние, много по-голямо от $R$ . Ако решението налага, можете да чертаете графики на координатната мрежа, дадена под снимката. В този случай предайте този лист заедно с останалите листа от вашето решение. [10.0 т]

Черно-бяла снимка на сферичен сапунен мехур с концентрични светли и тъмни пръстени около центъра. — Фиг. 3: снимка на сапунения мехур, направена през филтър с $\lambda = 550$ nm — концентрични светли и тъмни интерференчни пръстени.

Милиметрова координатна мрежа без надписи. — Празната координатна мрежа, отпечатана под снимката, върху която състезателят може да чертае графики.

Отговори

Решение

Тъй като фотоапаратът е на голямо разстояние от мехура, във фотоапарата попадат практически успоредни лъчи. От фигурата вляво се вижда, че тъмен или светъл пръстен с радиус $r$ съответства на лъчи, падащи върху мехура под ъгъл $\alpha$ , такъв че:

(1)\qquad \sin\alpha = \frac{r}{R}, \qquad \textbf{[0.25]}

където $R$ е радиусът на мехура. Светлите (тъмните) пръстени се дължат на конструктивна (деструктивна) интерференция между светлинни вълни, отразени съответно от външната и от вътрешната повърхност на сапунената ципа. Тъй като дебелината на ципата е много малка, може да приемем, че интерфериращите вълни се отразяват от плоскопаралелна пластина. От закона на Снелиус следва, че ъгълът $\beta$ на пречупване в ципата е такъв, че:

(2)\qquad \sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}, \qquad \textbf{[0.25]}

От фигурата вдясно се вижда, че оптичният път на вълната 1, отрезена от външната повърхност е:

(3)\qquad s_1 = \frac{\lambda}{2} + 2d\sin\alpha\tan\beta = \frac{\lambda}{2} + \frac{2d\sin^2\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}, \qquad \textbf{[1.0]}

като сме взели предвид, че вълната се отразява от оптически по-плътна среда. Вълната 2 изминава в ципата оптичен път:

(4)\qquad s_2 = \frac{2dn}{\cos\beta} = \frac{2dn^2}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}. \qquad \textbf{[1.0]}

От условието за интерференчен максимум:

(5)\qquad s_2 - s_1 = k\lambda

и израза (1) за $\sin\alpha$ получаваме за радиуса на светлите пръстени:

(6)\qquad 2d\sqrt{n^2 - r^2/R^2} = k\lambda + \lambda/2 \quad (k = 0,1,2,..). \qquad \textbf{[0.5]}

За радиуса на тъмните пръстени съответно имаме:

(7)\qquad 2d\sqrt{n^2 - r^2/R^2} = k\lambda \quad (k = 0,1,2,\ldots). \qquad \textbf{[0.5]}

От получените формули следва, че на пръстените с по-голям радиус съответства максимум (минимум) от по-малък порядък. Затова номерираме пръстените с целочислен индекс $m = 1, 2, \ldots$ от най-външния светъл (тъмен) пръстен към центъра, като индексът $m$ в общия случай не съвпада с порядъка $k$ на максимума (минимума). Затова условията (6) и (7) може да бъдат записани с едно уравнение:

(8)\qquad \sqrt{n^2 - r^2/R^2} = m\frac{\lambda}{2a} + C, \qquad \textbf{[0.5]}

където стойността на константата $C$ зависи от това дали става въпрос за максимум или за минимум. От тук се вижда, че ако въведем променливи:

(9)\qquad x \equiv m \text{ и } y \equiv \sqrt{n^2 - r^2/R^2}, \qquad \textbf{[0.5]}

получаваме линейна зависимост:

(10)\qquad y = Ax + C,

където:

(11)\qquad A = \frac{\lambda}{2d} \qquad \textbf{[0.5]}

е еднакъв за светлите и за тъмните пръстени коефициент на наклон на правата. За да определим $A$ , а оттам и търсената дебелина $d$ , измерваме с линийка диаметъра $2R$ на мехура и диаметрите $2r$ на светлите пръстени (в средата на пръстена). Резултатите са нанесени в таблица 1. След това пресмятаме съответните стойности на променливата $y$ и също нанасяме стойностите в таблицата.

Таблица 1. ( $2R = 5.1$ cm)

$m = x$	$2r$ (cm)	$y$
1	4.9	0.95
2	4.4	1.04
3	3.8	1.13
4	3.1	1.21
5	2.0	1.29

За измерване на диаметъра на мехура – 0.25 точки

За измервания и пресмятания на всеки ред от таблицата – по 0.25 точки

От таблицата построяваме графика на $y$ от $x$ (т.е. от $m$ ) и прекарваме апроксимираща права по експерименталните точки.

За всяка правилно нанесена точка – 0.25

За надписи върху осите – общо 0.25

За поне 50% запълване на площта на координатната мрежа – 0.5

От правата определяме коефициент на наклона:

(12)\qquad A \approx 0.088 \qquad \textbf{[0.5]}

и намираме дебелината на ципата:

(13)\qquad d = \frac{\lambda}{2A} \approx 3.1\times 10^3\ \mathrm{nm} = 3.1\ \mathrm{\mu m} \qquad \textbf{[1.0]}

Точкуването е същото, ако вместо светлите пръстени се измерват тъмните пръстени.

Вляво: пръстен с радиус $r$ съответства на лъчи, падащи под ъгъл $\alpha$, като $\sin\alpha = r/R$. Вдясно: интерференция на вълните 1 и 2, отразени от външната и вътрешната повърхност на ципа с дебелина $d$; ъгълът на пречупване е $\beta$. — Вляво: пръстен с радиус $r$ съответства на лъчи, падащи под ъгъл $\alpha$ , като $\sin\alpha = r/R$ . Вдясно: интерференция на вълните 1 и 2, отразени от външната и вътрешната повърхност на ципа с дебелина $d$ ; ъгълът на пречупване е $\beta$ .

Графика на $y = \sqrt{n^2 - r^2/R^2}$ в зависимост от $m = x$ с апроксимиращата права; наклонът е $A \approx 0.088$. — Графика на $y = \sqrt{n^2 - r^2/R^2}$ в зависимост от $m = x$ с апроксимиращата права; наклонът е $A \approx 0.088$ .

Оригинал в Архива: esenni_2023_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2023_STsolutions.pdf