Съдържание

НЕСФ 2022, Специална тема — Задача 1. Преобръщане на пръчка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 11-13 ноември 2022 г. — Специална тема · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

И в трите задачи можете да приемете като дадени следните физични константи: земно ускорение, $g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$ ; число на Авогадро, $N_\mathrm{A} = 6.02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; константа на Планк, $h = 6.63\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; редуцирана константа на Планк, $\hbar = h/(2\pi) = 1.05\times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ; електрична проницаемост на вакуума, $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ; магнитна проницаемост на вакуума, $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ ; скорост на светлината във вакуум, $c = 3.00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ; елементарен електричен заряд, $e = 1.60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

Условие

Тънка еднородна пръчка с дължина $\ell = 10\ \mathrm{cm}$ е поставена върху хоризонтална маса, както е показано на фиг. 1 а. Центърът $C$ на пръчката е отместен на разстояние $x = 1\ \mathrm{cm}$ навън спрямо ръба на масата. Първоначално пръчката е в покой. Поради нарушеното равновесие, пръчката започва да се преобръща около ръба на масата.

При какъв ъгъл $\alpha$ между пръчката и хоризонта (вж. фиг. 1 б) пръчката ще започне да се хлъзга спрямо ръба на масата? [10.0 т]

Коефициентът на триене между пръчката и масата е $\mu = 0.50$ .

Фиг. 1: (а) пръчката в началното си положение върху масата — дължина $\ell$, център $C$, отместване $x$ навън от ръба; (б) пръчката, наклонена под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта. — Фиг. 1: (а) пръчката в началното си положение върху масата — дължина $\ell$ , център $C$ , отместване $x$ навън от ръба; (б) пръчката, наклонена под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта.

Отговори

Решение

На фигурата са показани силите, действащи на пръчката:

За всяка сила с правилно означена посока и приложна точка × 0.5 точки: максимум [1.5]

Докато започне хлъзгането, пръчката се върти около ръба $O$ на масата. От теоремата на Щайнер намираме инерчния момент на пръчката спрямо т. $O$ :

(1)\qquad I_O = \frac{1}{12}m\ell^2 + mx^2, \qquad \textbf{[1.0]}

където $I_C = (1/12)m\ell^2$ е инерчният момент на пръчката спрямо нейния център на масата $C$ , а $x = |OC|$ . Ако пръчката сключва с хоризонта ъгъл $\alpha$ , тя се върти около $O$ с ъглова скорост $\omega$ , която може да бъде определена от закона за запазване на енергията:

(2)\qquad \frac{1}{2}I_O\omega^2 = mgx\sin\alpha, \qquad \textbf{[1.0]}

понеже силата $\vec f$ на триене е приложена към неподвижна точка и не върши работа. Оттук намираме: $\omega^2 = 24gx\sin\alpha/(\ell^2 + 12x^2)$ и съответно определяме нормалното ускорение на центъра на масата:

(3)\qquad a_n = \omega^2 x = \frac{24gx^2\sin\alpha}{\ell^2 + 12x^2} \qquad \textbf{[1.0]}

От II принцип на механиката, записан в проекции по дължината на пръчката:

(4)\qquad ma_n = f - G\sin\alpha, \qquad \textbf{[0.5]}

изразяваме силата на триене:

(5)\qquad f = ma_n + mg\sin\alpha = \left(\frac{\ell^2 + 36x^2}{\ell^2 + 12x^2}\right)mg\sin\alpha. \qquad \textbf{[0.5]}

Нека $\varepsilon$ е ъгловото ускорение на пръчката спрямо ръба на масата. От основното уравнение за въртене около неподвижна ос:

(6)\qquad I_O\varepsilon = mgx\cos\alpha \qquad \textbf{[1.0]}

определяме тангенциалното ускорение на точка $C$ :

(7)\qquad a_\tau = \varepsilon x = \frac{12gx^2\cos\alpha}{\ell^2 + 12x^2}. \qquad \textbf{[1.0]}

Записваме II принцип на механиката за направление, перпендикулярно на пръчката:

(8)\qquad ma_\tau = G\cos\alpha - N, \qquad \textbf{[0.5]}

и намираме силата на нормална реакция на масата:

(9)\qquad N = mg\cos\alpha - ma_\tau = \left(\frac{\ell^2}{\ell^2 + 12x^2}\right)mg\cos\alpha. \qquad \textbf{[0.5]}

Докато пръчката се върти около ръба на масата, е изпълнено: $f \le \mu N$ , т.е:

(10)\qquad (\ell^2 + 36x^2)\sin\alpha \le \mu\ell^2\cos\alpha \qquad \textbf{[0.5]}

Знакът за равенство съответства на момента, в който пръчката започва да се хлъзга, т.е. когато $\alpha = \alpha_{\max}$ . Оттук намираме:

(11)\qquad \alpha_{\max} = \operatorname{atan}\left(\frac{\mu\ell^2}{\ell^2 + 36x^2}\right) \approx 20^0. \qquad \textbf{[1.0]}

Силите, действащи на пръчката в момента на наклон $\alpha$: тежест $\vec G$ в центъра $C$, нормална реакция $\vec N$ и сила на триене $\vec f$ в ръба $O$. — Силите, действащи на пръчката в момента на наклон $\alpha$ : тежест $\vec G$ в центъра $C$ , нормална реакция $\vec N$ и сила на триене $\vec f$ в ръба $O$ .

Оригинал в Архива: esenni_2023_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2023_STsolutions.pdf