Съдържание

НЕСФ 2023, 10. клас — Задача 2. Електрическа верига

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17-19 ноември 2023 г., Копривщица — Тема за 10.клас (IV състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана схемата на електрическа верига. Напреженията $E_0$ и $E_1$ на източниците, както и съпротивленията $R_0, R_1, R_2, R_3$ , са известни.

Правоъгълен контур: източник E1 вляво, резистор R1 във вертикалния среден клон, R2 в горния и R3 в долния клон, а по диагонала са свързани R0 и източникът E0. — Фиг. 1 — схемата на електрическата верига с източниците $E_0$ , $E_1$ и резисторите $R_0$ , $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ .

а) Намерете израз за тока $I_0$ през съпротивлението $R_0$ . Зависи ли посоката на тока от конкретните стойности на параметрите на участващите елементи. [5,5 т.]

б) Определете токовете $I_2, I_3$ (съответно течащи през резисторите $R_2$ и $R_3$ ) и посочете посоките им в зависимост от конкретните стойности на параметрите на елементите във веригата. [3 т.]

в) Получете изрази за токовете $I_0, I_2, I_3$ при $R_0 = R_2 = R_3 = R$ . [1,5 т.]

Отговори

Решение

Задача 2. а) На фиг. 1 са показани избраните посоки на токовете през съпротивленията във веригата. Във възел $C$ имаме равенството

Схемата на веригата с надписани възли A, B, C, D и стрелки, показващи избраните посоки на токовете през R0, R1, R2 и R3. — Фиг. 1 от решението — същата верига с означени възли $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и избраните посоки на токовете.

(1)\qquad I_0 = I_2 + I_3.

(0,5 т.)

За затворения контур $ABC$ можем да запишем

(2)\qquad E_0 = I_2R_2 + I_0R_0.

(0,5 т.)

Аналогично за контура $ABCDA$ имаме

I_1R_1 - I_3R_3 + I_2R_2 = 0.

(0,5 т.)

Като отчетем, че

I_1R_1 = E_1,

(0,5 т.)

намираме

(3)\qquad E_1 = I_3R_3 - I_2R_2.

(0,5 т.)

Събираме (2) и (3), при което получаваме

(4)\qquad E_0 + E_1 = I_3R_3 + I_0R_0.

(0,5 т.)

Умножаваме (1) с $R_2$ и заместваме $I_2R_2$ в (3), при което намираме равенството

(5)\qquad E_1 = I_3(R_2+R_3) - I_0R_2.

(0,5 т.)

От (4) изразяваме тока $I_3$ :

I_3 = \left[(E_0+E_1) - I_0R_0\right]\frac{1}{R_3},

(0,5 т.)

след което от (5) за тока $I_0$ получаваме

I_0 = \frac{E_0(R_2+R_3)+E_1R_2}{R_0(R_2+R_3)+R_2R_3} = \frac{E_0(1+R_3/R_2)+E_1}{R_0(1+R_3/R_2)+R_3}.

(1 т.)

Ще отбележим, че избраната посока на тока $I_0$ не се променя с изменение на параметрите на елементите във веригата и тя съответства на избраната. (0,5 т.)

б) Като заместим получения израз за $I_0$ , намираме

I_3 = \frac{E_0R_2+E_1(R_2+R_0)}{R_0(R_2+R_3)+R_2R_3} = \frac{E_0+E_1(1+R_0/R_2)}{R_0(1+R_3/R_2)+R_3}.

(1 т.)

От връзката между токовете следва израза

I_2 = \frac{(E_0-E_1)R_3}{R_0(R_2+R_3)+R_2R_3} = \frac{E_0-E_1}{R_0(1+R_2/R_3)+R_2}.

(1 т.)

Посоката на тока $I_3$ не се променя при промяна на стойностите на характеристиките на елементите (0,25 т.), докато посоката на $I_2$ съвпада с избраната при $E_0 > E_1$ (0,25 т.); при $E_0 < E_1$ посоката е противоположна (0,25 т.), а при $E_0 = E_1$ токът $I_2 = 0$ . (0,25 т.)

в) В случая, когато $R_0 = R_2 = R_3 = R$ изразите за токовете имат особено прост вид:

I_0 = \frac{2E_0+E_1}{3R},

(0,5 т.)

I_2 = \frac{E_0-E_1}{3R},

(0,5 т.)

I_3 = \frac{E_0+2E_1}{3R}.

(0,5 т.)

Оригинал в Архива: esenni_2024_10problems.pdf · официални решения: esenni_2024_10solutions.pdf