НЕСФ 2023, 12. клас — Задача 3

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2023 г. – гр. Копривщица — Тема за XII клас (шеста състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Хоманова траектория е елиптична траектория, по която космически апарат може да премине от една кръгова орбита до друга с минимално изменение на импулса на апарата. В най-простия случай траекторията е полуелипса, която е допирателна към кръговите орбити в своя апоцентър и перицентър. Двигателите на апарата трябва да бъдат включени само в допирните точки на отделните траектории, като трябва да променят скоростта на апарата с точно определена стойност. Нека разгледаме преминаването на спътник от ниска околоземна орбита с радиус $r_1$ в геостационарна орбита с радиус $r_2$, като това става по описания по-горе начин. Изразете скоростта на спътника по елиптичната траектория, като функция на радиуса $r$ и голямата ѝ полуос. (6 т.) Определете изменението на скоростите в двете допирни точки на траекториите – $\Delta v_a$ и $\Delta v_p$, (4 т.)

Указания: в този опростен модел предполагаме, че всички орбити лежат в една равнина, както и че промяната на скоростта в следствие на работата на двигателите става за много кратко време. Може да приемете, че потенциалната енергия на спътника в гравитационното поле на Земята е $E_{\text{п}} = -\gamma M m / r$, където $M$ е масата на Земята, $m$ масата на спътника, $r$ е разстоянието между центъра на Земята и спътника, а $\gamma$ е гравитационната константа.

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2024_12problems.pdf · официални решения: esenni_2024_12solutions.pdf