Съдържание

НЕСФ 2023, 12. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2023 г. – гр. Копривщица — Тема за XII клас (шеста състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Хоманова траектория е елиптична траектория, по която космически апарат може да премине от една кръгова орбита до друга с минимално изменение на импулса на апарата. В най-простия случай траекторията е полуелипса, която е допирателна към кръговите орбити в своя апоцентър и перицентър. Двигателите на апарата трябва да бъдат включени само в допирните точки на отделните траектории, като трябва да променят скоростта на апарата с точно определена стойност. Нека разгледаме преминаването на спътник от ниска околоземна орбита с радиус $r_1$ в геостационарна орбита с радиус $r_2$ , като това става по описания по-горе начин. Изразете скоростта на спътника по елиптичната траектория, като функция на радиуса $r$ и голямата ѝ полуос. (6 т.) Определете изменението на скоростите в двете допирни точки на траекториите – $\Delta v_a$ и $\Delta v_p$ , (4 т.)

Указания: в този опростен модел предполагаме, че всички орбити лежат в една равнина, както и че промяната на скоростта в следствие на работата на двигателите става за много кратко време. Може да приемете, че потенциалната енергия на спътника в гравитационното поле на Земята е $E_{\text{п}} = -\gamma M m / r$ , където $M$ е масата на Земята, $m$ масата на спътника, $r$ е разстоянието между центъра на Земята и спътника, а $\gamma$ е гравитационната константа.

Отговори

Решение

Решение 3. Системата Земя–спътник е затворена система, в която е изпълнен законът за запазване на пълната механична енергия. (1 т.) Тъй като движението на спътника става под действие на централна сила (гравитационната), то ще е изпълнен и законът за запазване на момента на импулса. (1 т.) За да определим изменението на скоростите, нека разгледаме по-общия случай на движение по елиптична орбита и да определим скоростта на спътника във всяка една точка от нея. Първо записваме закона за запазване на пълната механична енергия за най-близката и най-далечната точки от орбитата:

\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{\gamma M m}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{\gamma M m}{r_2}.\ \textbf{(1 т.)}

Законът за запазване на момента на импулса за тези точки изглежда така:

r_1 m v_1 = r_2 m v_2.\ \textbf{(1 т.)}

От последните две уравнения и общия вид на пълната механична енергия получаваме израз за скоростта на спътника във всяка точка от траекторията:

v^2 = \gamma M\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right),\ \textbf{(2 т.)} \qquad (1)

където $a = (r_1 + r_2)/2$ е голямата полуос на елипсата.

Уравнение (1) може да се запише за последния момент от ниската околоземна орбита:

v_{1c}^2 = \gamma M\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{r_1}\right) = \frac{\gamma M}{r_1}.\ \textbf{(1 т.)}

След включване на двигателите сателитът се движи по елиптична орбита с голяма полуос $a = (r_1 + r_2)/2$ . Тогава (1) ще изглежда така:

v_1^2 = \gamma M\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{r_2 + r_2}\right) = \gamma M \frac{2r_2}{r_1(r_2 + r_2)}.\ \textbf{(1 т.)}

За промяната на скоростта след първото включване на двигателите окончателно получаваме:

\Delta v_p = v_1 - v_{1c} = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right).\ \textbf{(1 т.)}

Аналогични разсъждения може да запишем и за най-далечната точка, за която получаваме:

\Delta v_a = v_{2c} - v_2 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right).\ \textbf{(1 т.)}

Оригинал в Архива: esenni_2024_12problems.pdf · официални решения: esenni_2024_12solutions.pdf