Съдържание

НЕСФ 2023, 12. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2023 г. – гр. Копривщица — Тема за XII клас (шеста състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Единият край на тръба с вътрешен диаметър $d$ е запушен, а другият ѝ край е затворен с гумена тапа. Диаметърът на тапата, когато тя е извън тръбата, е $D$ $(D > d)$ . Дължината на тръбата е $L$ , а тази на тапата $l$ $(L \gg l)$ . Нека означим с $\Delta D/D$ относителната деформация на тапата, където $\Delta D$ е изменението на диаметъра на тапата когато тя е деформирана, за да влезе в тръбата. Да въведем и величината нормално еластично напрежение $\tau$ , като нормалната сила, действаща на единица площ. Известно е, че относителната деформация е пропорционална на нормално еластично напрежение:

\Delta D/D = -\alpha\tau, \qquad (2.1)

където $\alpha$ е известна константа характерна за материала, който деформираме (в случая гума).

Тапата може да изхвърчи от тръбата, ако разликата в наляганията от двете ѝ страни е по-голяма от някаква известна критична стойност, $p_{\text{кр}}$ . Коефициентът на триене между гумата и тръбата е $\mu$ .

2.1. До каква температура трябва да се нагрее въздухът в тръбата, така че тапата да започне да се движи, ако преди нагряването въздухът затворен в тръбата е при атмосферно налягане $p_0$ и температура $T_0$ ? (3 т.)

2.2. Много бавно започваме да бутаме тапата навътре в тръбата. Какво е максималното разстояние $L_1$ , на което може да набутаме тапата, така че тя да остане неподвижна след като престанем да я бутаме? Първоначално въздухът, затворен в тръбата, е при атмосферно налягане $p_0$ и температура $T_0$ . (3 т.)

2.3. Изразете критичното налягане $p_{\text{кр}}$ , чрез величините, дадени в условието на задачата. (4 т.)

Отговори

Решение

Решение 2.1. При нагряване на тръбата обемът на газа остава постоянен, тъй като тапата е неподвижна, до достигане на критичното налягане. (1 т.) От уравнението на състоянието на идеален газ може да запишем, че:

pV = nRT,\ V = \mathrm{const},\ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p_1}{T_1},\ \textbf{(1 т.)}

където $p_1$ и $T_1$ са съответно налягането и температурата, при които тапата започва да се движи. Ако отчетем, че тапата ще започне да се движи ако $p_1 - p_0 > p_{\text{кр}}$ то за крайната температура получаваме:

T_1 > \left(1 + \frac{p_{\text{кр}}}{p_0}\right)T_0.\ \textbf{(1 т.)}

Решение 2.2. Ако бутаме тапата много бавно навътре в тръбата, то газът в тръбата ще се свива изотермно, (1 т.) при което може да запишем:

pV = nRT,\ T = \mathrm{const},\ p_0V_0 = p_1V_1,\ \textbf{(1 т.)}

където $p_1$ и $V_1$ са съответно налягането и обемът на газа, при които тапата започва да се движи, ако я оставим свободно. Тук отново може да използваме, че $p_1 - p_0 > p_{\text{кр}}$ . Като отчетем, че напречното сечение на тръбата е постоянно, а началният обем е $V_0 = \pi D^2(L - l)/4$ , то ако означим дължината на въздуха при обем $V_1$ с $L_1$ може да запишем:

p_0(L - l) > (p_0 + p_{\text{кр}})L_1,

L_1 < \frac{p_0}{p_0 + p_{\text{кр}}}(L - l).\ \textbf{(1 т.)}

Решение 2.3. От условието на задачата, уравнение (2.1), може да изразим напрежението $\tau$ като:

\tau = (D - d)/(\alpha D) = (1 - d/D)/\alpha.\ \textbf{(1 т.)}

Това е напрежението, което тръбата оказва върху деформираната (свитата) тапа. Нормалната сила която ще действа на тапата, зависи от контактна ѝ повърхност (околната повърхност на тапата) с тръбата или:

N = S\tau = \pi dl(D - d)/(\alpha D) = \pi dl(1 - d/D)/\alpha.\ \textbf{(1 т.)}

Силата на триене между тръбата и тапата е:

F = \mu N = \mu\pi dl(1 - d/D)/\alpha.\ \textbf{(1 т.)}

Така определяме критичното налягане $p_{\text{кр}}$ :

p_{\text{кр}} = F/s = 4\mu\pi dl(1 - d/D)/(\alpha\pi d^2) = 4\mu l(1 - d/D)/(\alpha d),\ \textbf{(1 т.)}

където с $s = \pi d^2/4$ сме означили площта на напречното сечение на тапата в тръбата.

Оригинал в Архива: esenni_2024_12problems.pdf · официални решения: esenni_2024_12solutions.pdf