Съдържание

НЕСФ 2023, 9. клас — Задача 1. Сняг, лед и очила

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Есенно национално състезание по физика 2023, тема за IX клас (Трета възрастова група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

В началото на пролетта Дарко е на гости на баба си. Покривът на къщата ѝ е покрит със сняг, който се топи и непрекъснато капят капки.

Част 1.

Бабата на Дарко се оплаква, че има нужда от нови очила. Той решава да измери с подръчни средства фокусното разстояние на очилата на баба си. Поставя едната леща от очилата на разстояние $h_0 = 1$ m от покрива на къщата. Капка пада върху лещата. Дарко забелязва, че в момента време $t = 0{,}13$ s преди капката да достигне лещата, образът на капката не може да се проектира върху екран. Капката пада по оптичната ос на лещата.

А) Намерете времето $t_1$ , за което падаща капка от покрива ще достигне до лещата. [1 т.]

Б) Определете вида на лещата (събирателна или разсейвателна), като обосновете отговора си. [0,5 т.]

В) Определете фокусното разстояние $f$ на лещата. [2,5 т.]

Част 2.

Дарко премахва лещата и наблюдава как започва да се образува ледена висулка от топящия се на капки сняг. От падащите капки от покрива всяка девета замръзва на висулката, а от следващите осем капки само половината замръзват върху земята, като образуват вертикален леден стълб. Висулката и стълба имат правилна цилиндрична форма. Диаметърът на стълба е 3 пъти по-голям от диаметъра на висулката. След $t_2 = 1$ час от началото на топене на снега висулката има дължина $h = 1{,}2$ m, а между краищата на висулката и цилиндъра разстоянието е $H = 80$ cm.

А) Намерете с каква скорост $v_1$ ледената висулка нараства. [1 т.]

Б) Намерете отношението на скоростите на нарастване на стълба $v_2$ и висулката $v_1$ ( $v_2/v_1 =?$ ) [2 т.]

В) Намерете скоростта $v$ , с която се приближават висулката и стълба. [1 т.]

Г) След колко време $T_x$ (смятано от момента, когато разстоянието между тях е било $H$ ) висулката и стълбът ще се допрат? [2 т.]

В случай, че Ви потрябва: Лице на кръг $S = \pi r^2$ ; обем на цилиндър $V = \pi r^2 . h$ . Земното ускорение е $g = 10$ m/s $^2$ .

Решение

Част 1.

А) Капката ще достигне лещата:

h_0 = \frac{g t_1^2}{2} \qquad (0{,}5\ \text{т})

t_1 = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \approx 0{,}45\ s \qquad (0{,}5\ \text{т})

Б) Факта, че изобщо се получава образ върху земната повърхност (дори да е недобре фокусиран) означава, че лещата е събирателна (изпъкнала). С разсейвателните (вдлъбнатите) лещи никога не може да се получи действителен образ. (0,5 т)

В) Образът на капката върху земната повърхност ще престане да се вижда, когато капката се намира между фокуса и лещата (0,5 т), т.е. от момента на падане на капката до момента на „изчезване“ на образа тя ще е изминала път $h_0 - f$ равноускорително за време $t_1 - t$ :

h_0 - f = \frac{g(t_1-t)^2}{2} \qquad (1\ \text{т})

f = h_0 - \frac{g(t_1-t)^2}{2} \approx 0{,}49\ \mathrm{m} \approx 0{,}5\ \mathrm{m} \qquad (\ 1\ \text{т})

Част 2.

А) Скоростта на нарастване на висулката е:

v_1 = \frac{h}{t_2} = 1{,}2\ \mathrm{m/h} = 2\ \mathrm{cm/min}. \qquad (1\ \text{т})

Б) Разглеждаме време за един цикъл, равен на падането на 9 капки. Една капка замръзва на висулката, останалите 8 падат, но само 4 замръзват. Радиусът на цилиндъра е 3 пъти по-голям от този на висулката. След като отчетем, че обема на цилиндър зависи от $r^2$ (1 т).

\frac{v_2}{v_1} = \frac{4}{9} \qquad (1\ \text{т})

В) Скоростта, с която се приближават висулката и цилиндъра е:

v = v_1 + v_2 = \frac{13}{9} v_1 \qquad (1\ \text{т})

Г)

T_x = \frac{H}{v} \qquad (1\ \text{т})

T_x = \frac{9Ht_2}{13h} = \frac{6}{13}\ \mathrm{h} = 27{,}7\ \mathrm{min} \qquad (1\ \text{т})

9. клас

Зад. 2, в) -- Няма дадени размерности в условието, в дадената зависимост пътят е в метри, а времето е в секунди.

Зад. 2, г) -- Намереното $k_2$ в оригиналното решение е минимална стойност за коефициента на триене, а не точната такава. Това е така, защото теглителната сила на локомотива не е
$k_2 \cdot mg$ , а си е нещо, което зависи от двигателя. Това е само максималната стойност на силата на триене.

Зад. 3, г) -- В даден момент във въздуха има точно 20 песъчинки, а не 19. Когато в момент $t$
падне песъчинката с номер 1, тъкмо се отделя тази с номер 21, и винаги във въздуха остават 20.

Оригинал в Архива: esenni_2024_9problems.pdf · официални решения: esenni_2024_9solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt