Съдържание

Условие Част 1. Време за удар и сила на удар (2 т.)Част 2. Пътешествията на Гъливер и фалшиви показания на везна Решение

НЕСФ 2023, 9. клас — Задача 3. Време за удар и сила на удар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Есенно национално състезание по физика 2023, тема за IX клас (Трета възрастова група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Част 1. Време за удар и сила на удар (2 т.)

Твърдо топче с маса $m$ се хлъзга по пода и се удря със скорост $v$ перпендикулярно в стена. Стената е покрита с гъвкав материал като желе. При удара си в желето топчето потъва в него до пълно спиране за време $t_0$ .

Намерете силата $F$ , с която топчето действа върху стената.

Част 2. Пътешествията на Гъливер и фалшиви показания на везна

В книгата на Джонатан Суифт – „Пътешествията на Гъливер в страната на лилипутите“ се описва как лилипутите намират пясъчен часовник в джоба на Гъливер. Часовникът се поставя върху везна. Песъчинките започват да падат една след друга през определен интервал от време $\Delta t$ . Везната е много чувствителна и отчита моментално.

Разстоянието между процепа, от който падат песъчинките, и долната основа на часовника е $h = 5$ cm. В началния момент в горната част на часовника има $N = 1000$ на брой песъчинки. Масата на всяка песъчинка е $m = 1$ mg, земното ускорение е $g = 10$ m/s $^2$ . Долното дъно на часовника е покрито с гъвкав материал, като желе, в който песъчинката потъва и напълно спира за време $t_0 = 0{,}005$ s.

При разглеждането на задачата да не се отчита масата на корпуса на часовника.

А) Намерете показанията на везната $P_0$ преди да е паднала първата песъчинка през отвора. [1 т.]

Б) Намерете времето $t$ , за което първата песъчинка ще достигне дъното и скоростта $v$ , с която ще се удари. [2 т.]

В) Как ще се променят показанията на везната с времето, ако пада само една песъчинка. Начертайте примерна графика на показанията на везната с времето. Да се разгледа интервал от време $T = t + 2t_0$ . Не е необходимо да използвате конкретните стойности, а принципна графика. [2 т.]

Г) Как ще се променят показанията на везната с времето, ако песъчинките падат една след друга през интервал от време $t_1 = t/20$ . Разгледайте интервал от време $T = t + 3t_1$ . Начертайте графика как ще се променят показанията на везната в този случай. Не е необходимо да използвате конкретните стойности, а принципна графика. [3 т.]

Решение

Част 1.

Прилагаме втори закон на Нютон

F = ma => F = m\frac{\Delta v}{\Delta t} \qquad (1\ \text{т})

F = \frac{mv}{t_0} \qquad (1\ \text{т})

Част 2.

А) $P_0 = Nmg = 10$ mN (1 т)

Б) Свободно падане без начална скорост

t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 0{,}1\ \mathrm{s};\ (\mathbf{1}\ \text{т})\ v = \sqrt{2gh} = 1\ \mathrm{m/s}\ (1\ \text{т})

В) Докато пада песъчинката за време $t$ показанията на везната ще бъдат

P_1 = (N - 1) . mg = 9.99\ \mathrm{mN} \quad \text{(за време } t)

В момента на удара показанията на везната от момента $t$ до $t_0$ ще бъдат, т.е. за време $t_0$ :

P_2 = (N - 1)mg + \Delta P

Където $\Delta P$ е „допълнителното“ тегло, заради удара на песъчинката в дъното

P_2 = (N - 1)mg + \frac{mv}{t_0} = 10{,}19\ \mathrm{mN}\ \text{(за време } t_0)

Но отчитането на $P_2$ ще бъде в продължение само на време $t_0$ и после везната ще покаже отново стойност $P_0$ .

Изчисленията са пояснителни, оценява се само графиката. (2 т)

Показанието на везната при една песъчинка.

Г) За време докато падне първата песъчинка до дъното ще са изминали

$n = t/t_1 = 20$ интервала, т.е. ще са се откъснали 19 песъчинки. Падането на песъчинките ще предизвика промяна в показанието на везната до момента $t$ по следния начин:

Когато се откъсне първата песъчинка везната ще отчита тегло:

От момента 0 до $t_1$ : $P = (N - 1)mg$	(една песъчинка е във въздуха)
От момента $t_1$ до $2t_1$ : $P = (N - 2)mg$	(две песъчинки са във въздуха)
От момента $2t_1$ до $3t_1$ : $P = (N - 3)mg$	(три песъчинки са във въздуха)
От момента $3t_1$ до $4t_1$ : $P = (N - 4)mg$	(четири песъчинки са във въздуха)

… и т.н. до момента $t$ , когато във въздуха се намират 19 песъчинки – 18 са във въздуха, а 19-тата започва да навлиза в желето (и в същия момент се отделя 20-тата).

След момента $t$ :

Ако песъчинките падат през интервал от време $t_1$ , то това означава, че в момента, когато първата се удари в дъното, ще има още 19 падащи песъчинки. Тъй като времето на отделяне на две последователни песъчинки $t_1$ е равно на времето за пълно спиране на една песъчинка $t_0$ , то когато приключи времето на удара за първата песъчинка, втората ще е започнала да взаимодейства с дъното, т.е. винаги само една песъчинка ще спира в дъното. Тогава показанията на везната ще бъдат постоянни на $P_3$ . Винаги ще има падащи 19 песъчинки във въздуха и 20-тата ще взаимодейства с дъното.

Тогава показанията на везната след време $t$ ще бъдат:

P_3 = (N - 19)mg + \Delta P

P_3 = 10{,}01\ \mathrm{mN}

Изчисленията са пояснителни, оценява се само графиката. (2 т)

Графиката в този случай би изглеждала:

Оригиналната графика при последователни песъчинки, преди поправката.

9. клас

Зад. 2, в) -- Няма дадени размерности в условието, в дадената зависимост пътят е в метри, а времето е в секунди.

Зад. 2, г) -- Намереното $k_2$ в оригиналното решение е минимална стойност за коефициента на триене, а не точната такава. Това е така, защото теглителната сила на локомотива не е
$k_2 \cdot mg$ , а си е нещо, което зависи от двигателя. Това е само максималната стойност на силата на триене.

Зад. 3, г) -- В даден момент във въздуха има точно 20 песъчинки, а не 19. Когато в момент $t$
падне песъчинката с номер 1, тъкмо се отделя тази с номер 21, и винаги във въздуха остават 20.

Оригинал в Архива: esenni_2024_9problems.pdf · официални решения: esenni_2024_9solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt