НЕСФ 2023, Специална тема — Задача 2. Неустойчивост на Плато-Рейли

Национално есенно състезание по физика 2023, Специална тема (Копривщица) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Течност, изтичаща от кръгов отвор, оформя струя, която на определено разстояние от отвора се раздробява спонтанно на отделни капки. Това явление се нарича неустойчивост на Плато-Рейли по името на френския физик Плато, който го е изследвал експериментално, и английския физик Рейли, който го е обяснил теоретично.

Упътване

• Подусловията може да бъдат решавани и в ред, различен от дадения в задачата.

• Според формулата на Лаплас, налягането под изкривена повърхност на течността се дава с израза:

  $p = \sigma(1/R_1 + 1/R_2),$

  където R₁ и R₂ са радиусите на кривината в две взаимно перпендикулярни сечения на повърхността, както е илюстрирано на фигурата по-долу. За изпъкнало сечение $R > 0$, а за вдлъбнато $R < 0$.

• За радиуса R на кривината на графиката на функцията $y(x)$ в локалния минимум/максимум е в сила:

  $1/R = -y''(x)$

Полезни данни

Земно ускорение, $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$;

Плътност на водата и на сапунения разтвор, $\rho = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$;

Повърхностно напрежение на дестилираната вода, $\sigma = 72\ \mathrm{mN/m}$.

а) Според теорията на Рейли неустойчивостта на струята се дължи на повърхностното напрежение на течността, като гравитацията и вискозитета на течността не се отчитат. Затова в предложения от Рейли модел се разглежда много дълъг цилиндричен стълб течност с радиус $r_0$, който е неподвижен в състояние на безтегловност (фиг. 2, а). Това не е ограничение на общността, защото всяка струя течност би изглеждала неподвижна за наблюдател в отправна система, движеща се със скоростта на струята. Рейли показал, че струята се разпада на капки поради малки случайни нарушения на идеалната ѝ цилиндрична форма, които обикновено възникват при изтичането ѝ от изходния отвор.

Всяко нарушение на цилиндричната форма може да се представи като суперпозиция на хармонични вълни по дължината на стълба течност, както е показано на фиг. 2, б. Силите на повърхностно напрежение свиват още повече стеснените участъци, докато уширените участъци допълнително се раздуват. След определено време $t_\mathrm{d}$ струята се разпада на отделни капки. Като използвате метод на размерностите, получете израз за $t_\mathrm{d}$ посредством $r_0$, повърхностното напрежение $\sigma$ и плътността $\rho$ на течността. [2 т.]

б) Да разгледаме конкретна вълна с дължина $\lambda$ и амплитуда $A \ll r_0$, която води до модулация на радиуса на стълба течност от вида:

$r(x) = r_0 + A\sin(kx),$

където $x$ е координатата по оста на струята, както е показано на фиг. 2, б.

б1. Получете връзка между параметъра $k$ и дължината $\lambda$ на вълната. [1 т.]

б2. Като вземете предвид, че течността е неподвижна, получете израз за налягането $p_{\text{ш}}$ в най-широката и $p_{\text{т}}$ в най-тясната част на струята. [2 т.]

б3. Колко е минималната дължина $\lambda_{\min}$ на вълната, при която стълбът течност е неустойчив, т.е. амплитудата на вълната нараства с времето, докато струята се разпадне на капки? [2 т.]

б4. Колко е минималният радиус $r_{\min}$ на получените капки, ако приемете, че те имат сферична форма? [1 т.]

в) На фиг. 2, в е снимана струя дестилирана вода, която изтича от отвор с радиус $r_0 = 1.0\ \mathrm{mm}$ с начална скорост $v_0 = 5.0\ \mathrm{cm/s}$, а на фиг. 2, г – струя сапунен разтвор, изтичаща със същата скорост от отвор със същия радиус. Като използвате данни от снимките, оценете стойността на безразмерния коефициент C в получения от вас израз за времето $t_\mathrm{d}$ и определете приблизително повърхностното напрежение $\sigma_1$ на сапунения разтвор. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2024_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2024_STsolutions.pdf