НЕСФ 2023, Специална тема — Задача 3. Електромер за променлив ток

Национално есенно състезание по физика 2023, Специална тема (Копривщица) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 3, а е илюстрирано принципното устройство на индукционен електромер – уред за отчитане на консумирана електрична енергия в променливотокови вериги. На фиг. 3, б е показана еквивалентната схема на свързване на електромера в електрическата мрежа. Напрежителната намотка 1 е свързана непосредствено към източник на променливо напрежение $U(t)$ с кръгова честота $\omega$ и амплитуда $U_{\max}$:

$U(t) = U_{\max}\sin(\omega t)$

Токовата намотка 2 е свързана последователно към консуматора K на електрична енергия. Намотките имат съответно индуктивност L₁ и L₂, брой навивки $N_1$ и $N_2$ и пренебрежимо съпротивление. Тънък алуминиев диск с дебелина b и със специфично съпротивление $\rho$ може да се върти без триене около вертикална ос, като минава през тънки прорези в сърцевините на намотките. Постоянният магнит M играе роля на „магнитна спирачка”, чието действие няма да бъде разглеждано по-нататък. Приемете, че сърцевините на намотките са „идеални магнитопроводи”, т.е. магнитните индукционни следват сърцевината по цялата ѝ дължина, като пресичат минаващия през процепа диск, както е илюстрирано с пунктираните криви на фиг. 3, а.

* По определение плътността на тока, $\vec j$, е вектор по допирателната към токовата линия, минаваща през дадена точка (вж. фиг 3, в). Големината на $j$ е равна на тока през единица площ, перпендикулярна на токовата линия. Единицата за $j$ е $\mathrm{A/m^2}$. Съответно, токът $\mathrm{d}I$ през малка ориентирана площ $\mathrm{d}\vec S$ е $\mathrm{d}I = \vec j \cdot \mathrm{d}\vec S$. Законът на Ом в т.нар. диференциална форма гласи, че в дадена точка от проводника $\vec j = \vec E/\rho$, където е $\vec E$ интензитетът на електричното поле в тази точка, а $\rho$ е специфичното съпротивление на материала.

а) Получете израз за тока $I_1(t)$ в напрежителната намотка като функция на времето. [2,5 т.]

б) Поради променливия ток в напрежителната намотка, в диска се индуцират кръгови токове – т.нар. токове на Фуко. Получете израз за моментната стойност $j_\mathrm{F}(t,r)$ на плътността* на токовете на Фуко на разстояние $r$ от центъра на процепа, през който минава дискът (фиг. 3, в). Разгледайте само разстояния $r$, по-големи от радиуса на процепа. Приемете, че хоризонталните размери на алуминиевия диск са толкова големи, че можете да го разглеждате като безкрайна равнина. [3,5 т.]

в) Взаимодействието между токовете на Фуко и магнитното поле на токовата намотката 2 поражда сила, която упражнява въртящ момент върху алуминиевия диск. Докажете, че средната сила $\bar F$, действаща на алуминиевия лист, е пропорционална на средната мощност $\bar P$, която се отделя в консуматора:

$\bar F = k\bar P$

и изразете константата k чрез дадените в условието параметри и разстоянието $d$ между центровете на прорезите в двете намотки. Приемете, че диаметърът на прорезите е много по-малък от d (т.е. намотките са безкрайно тънки ☺). [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2024_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2024_STsolutions.pdf