Съдържание

НЕСФ 2023, Специална тема — Задача 3. Електромер за променлив ток

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика 2023, Специална тема (Копривщица) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

а) устройство на индукционен електромер с намотки 1 и 2, магнит M, диск с дебелина b и разстояние d между процепите; б) еквивалентна схема с източник на променливо напрежение, намотка 1, намотка 2 и консуматор K; в) алуминиев диск с кръгови токове на Фуко на разстояние r от центъра на процепа. — Фиг. 3

На фиг. 3, а е илюстрирано принципното устройство на индукционен електромер – уред за отчитане на консумирана електрична енергия в променливотокови вериги. На фиг. 3, б е показана еквивалентната схема на свързване на електромера в електрическата мрежа. Напрежителната намотка 1 е свързана непосредствено към източник на променливо напрежение $U(t)$ с кръгова честота $\omega$ и амплитуда $U_{\max}$ :

U(t) = U_{\max}\sin(\omega t)

Токовата намотка 2 е свързана последователно към консуматора K на електрична енергия. Намотките имат съответно индуктивност L₁ и L₂, брой навивки $N_1$ и $N_2$ и пренебрежимо съпротивление. Тънък алуминиев диск с дебелина b и със специфично съпротивление $\rho$ може да се върти без триене около вертикална ос, като минава през тънки прорези в сърцевините на намотките. Постоянният магнит M играе роля на „магнитна спирачка”, чието действие няма да бъде разглеждано по-нататък. Приемете, че сърцевините на намотките са „идеални магнитопроводи”, т.е. магнитните индукционни следват сърцевината по цялата ѝ дължина, като пресичат минаващия през процепа диск, както е илюстрирано с пунктираните криви на фиг. 3, а.

* По определение плътността на тока, $\vec j$ , е вектор по допирателната към токовата линия, минаваща през дадена точка (вж. фиг 3, в). Големината на $j$ е равна на тока през единица площ, перпендикулярна на токовата линия. Единицата за $j$ е $\mathrm{A/m^2}$ . Съответно, токът $\mathrm{d}I$ през малка ориентирана площ $\mathrm{d}\vec S$ е $\mathrm{d}I = \vec j \cdot \mathrm{d}\vec S$ . Законът на Ом в т.нар. диференциална форма гласи, че в дадена точка от проводника $\vec j = \vec E/\rho$ , където е $\vec E$ интензитетът на електричното поле в тази точка, а $\rho$ е специфичното съпротивление на материала.

а) Получете израз за тока $I_1(t)$ в напрежителната намотка като функция на времето. [2,5 т.]

б) Поради променливия ток в напрежителната намотка, в диска се индуцират кръгови токове – т.нар. токове на Фуко. Получете израз за моментната стойност $j_\mathrm{F}(t,r)$ на плътността* на токовете на Фуко на разстояние $r$ от центъра на процепа, през който минава дискът (фиг. 3, в). Разгледайте само разстояния $r$ , по-големи от радиуса на процепа. Приемете, че хоризонталните размери на алуминиевия диск са толкова големи, че можете да го разглеждате като безкрайна равнина. [3,5 т.]

в) Взаимодействието между токовете на Фуко и магнитното поле на токовата намотката 2 поражда сила, която упражнява въртящ момент върху алуминиевия диск. Докажете, че средната сила $\bar F$ , действаща на алуминиевия лист, е пропорционална на средната мощност $\bar P$ , която се отделя в консуматора:

\bar F = k\bar P

и изразете константата k чрез дадените в условието параметри и разстоянието $d$ между центровете на прорезите в двете намотки. Приемете, че диаметърът на прорезите е много по-малък от d (т.е. намотките са безкрайно тънки ☺). [4 т.]

Отговори

Решение

а) От II правило на Кирхоф следва:

-L_1\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} + U(t) = 0.

[0.5]

Ако приемем, че $I_1(t) = I_{1,\max}\sin(\omega t + \varphi)$ , получаваме:

-\omega L I_{1,\max}\cos(\omega t + \varphi) + U_{\max}\sin(\omega t) \equiv 0,

[0.5]

откъдето следва:

I_{1,\max} = \frac{U_{\max}}{\omega L_1},

[0.5]

\varphi = -\pi/2

[0.5]

I_1(t) = -\frac{U_{\max}}{\omega L_1}\cos(\omega t)

[0.5]

б) От определението за индуктивност следва, че общият магнитен поток през всички навивки на намотката 1 е:

\Phi_{\mathrm{tot}}(t) = L_1 I_1(t).

[0.5]

Тъй като намотката е съставена от N₁ последователно свързани навивки, потокът през една отделна навивка, т.е. потокът през напречното сечение на сърцевината е:

\Phi_1(t) = \frac{\Phi_{\mathrm{tot}}(t)}{N_1} = \frac{L_1 I_1(t)}{N_1} = -\frac{U_{\max}}{\omega N_1}\cos(\omega t).

[0.5]

Понеже всички индукционни линии на намотката се затварят през сърцевината, потокът на магнитното поле през металния лист също е равен на $\Phi_1(t)$ . Нека разгледаме тънък пръстен от металния лист с радиус $r$ и малка широчина $\Delta r$ . В пръстена се индуцира ЕДН:

\mathcal{E}(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_1(t)}{\mathrm{d}t} = -\frac{U_{\max}}{N_1}\sin(\omega t).

[0.5]

Съпротивлението на пръстена е:

R = \frac{\rho\ell}{S} = \frac{2\pi r\rho}{S},

[0.5]

където $S = b\Delta r$ е напречното сечение на пръстена. Индуцираният ток, който тече по пръстена е съответно:

I_\mathrm{F}(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R} = -\frac{SU_{\max}}{2\pi\rho N_1 r}\sin(\omega t).

[0.5]

От определението за плътност на тока получаваме:

j_\mathrm{F}(t, r) = \frac{I_\mathrm{F}(t)}{S} = -\frac{U_{\max}}{2\pi\rho N_1 r}\sin(\omega t) = -\frac{U(t)}{2\pi\rho N_1 r}.

[1.0]

Следователно плътността на токовете на Фуко в даден момент е пропорционална на моментната стойност на напрежението върху намотката.

в) Токовете на Фуко взаимодействат с магнитното поле $B_2(t)$ , създадено от втората намотка в процепа на сърцевината, т.е. където магнитните индукционните линии пресичат диска. Тъй като радиусите на сърцевините на намотките са много по-малки от разстоянието d между тях, може да приемем, че плътността на токовете на Фуко в областта на процепа е постоянна:

j_\mathrm{F}(t, r) \approx j_\mathrm{F}(t, d) = -\frac{U(t)}{2\pi\rho N_1 d}.

[0.5]

Нека разгледаме малък токов елемент с дължина $\Delta\ell$ в посока на $j_\mathrm{F}$ , и широчина $\Delta r$ в перпендикулярно направление, т.е. успоредно на правата свързваща центровете на двата процепа, както е илюстрирано на фигурата по-долу.

Две пунктирани окръжности на разстояние r ≈ d; в дясната е показан паралелепипед с ръбове Δr, Δℓ и b, върху който действат B2, ΔF и jF. — Токов елемент с размери $\Delta\ell$ , $\Delta r$ и $b$ в процепа на токовата намотка

Напречното сечение на токовия елемент в посока, перпендикулярна на токовата линия, съответно е: $\Delta S_\perp = b\Delta r$ , а токът през напречното сечение:

\Delta I_\mathrm{F} = j_\mathrm{F}\Delta S_\perp = j_\mathrm{F} b\Delta r.

[0.5]

От закона на Ампер следва, че на токовия елемент действа сила с големина:

\Delta F = \Delta I_\mathrm{F}\Delta\ell B_2 = j_\mathrm{F} b\Delta r\Delta\ell B_2

[0.5]

в посока, перпендикулярна на токовата линия, т.е. успоредно на правата, свързваща центровете на процепите. Като вземем предвид, че $\Delta r\Delta\ell B_2 = \Delta\Phi_2$ е потокът на магнитното поле през горната повърхност на токовия елемент, получаваме, че общата сила, действаща на индуцирания ток $j_\mathrm{F}$ е:

F = bj_\mathrm{F}(t, d)\Phi_2(t),

[0.5]

където $\Phi_2(t)$ е общият магнитен поток през напречното сечение на втората намотка. Като вземем предвид, че:

\Phi_2(t) = \frac{L_2 I(t)}{N_2},

[0.5]

където $I(t)$ е моментната стойност на тока през консуматора, намираме:

F(t) = \frac{bL_2}{2\pi\rho N_1 N_2 d}P(t),

[1.0]

където $P(t) = I(t)U(t)$ моментната стойност на мощността, която се отделя в консуматора. Тъй като $F(t) \propto P(t)$ във всеки момент, същата пропорционалност е в сила между средните стойности на силата и мощността. Следователно коефициентът на пропорционалност е:

k = \frac{bL_2}{2\pi\rho N_1 N_2 d}.

[0.5]

Оригинал в Архива: esenni_2024_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2024_STsolutions.pdf