Съдържание

НЕСФ 2023, Специална тема — Задача 2. Неустойчивост на Плато-Рейли

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика 2023, Специална тема (Копривщица) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Течност, изтичаща от кръгов отвор, оформя струя, която на определено разстояние от отвора се раздробява спонтанно на отделни капки. Това явление се нарича неустойчивост на Плато-Рейли по името на френския физик Плато, който го е изследвал експериментално, и английския физик Рейли, който го е обяснил теоретично.

Упътване

Подусловията може да бъдат решавани и в ред, различен от дадения в задачата.
Според формулата на Лаплас, налягането под изкривена повърхност на течността се дава с израза:
$p = \sigma(1/R_1 + 1/R_2),$
където R₁ и R₂ са радиусите на кривината в две взаимно перпендикулярни сечения на повърхността, както е илюстрирано на фигурата по-долу. За изпъкнало сечение $R > 0$ , а за вдлъбнато $R < 0$ .
За радиуса R на кривината на графиката на функцията $y(x)$ в локалния минимум/максимум е в сила:
$1/R = -y''(x)$

Полезни данни

Земно ускорение, $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ;

Плътност на водата и на сапунения разтвор, $\rho = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ ;

Повърхностно напрежение на дестилираната вода, $\sigma = 72\ \mathrm{mN/m}$ .

Седловидна повърхност с означени радиуси на кривината R1 и R2 в две взаимно перпендикулярни сечения. — Радиуси на кривината $R_1$ и $R_2$ в две взаимно перпендикулярни сечения на повърхността

а) Според теорията на Рейли неустойчивостта на струята се дължи на повърхностното напрежение на течността, като гравитацията и вискозитета на течността не се отчитат. Затова в предложения от Рейли модел се разглежда много дълъг цилиндричен стълб течност с радиус $r_0$ , който е неподвижен в състояние на безтегловност (фиг. 2, а). Това не е ограничение на общността, защото всяка струя течност би изглеждала неподвижна за наблюдател в отправна система, движеща се със скоростта на струята. Рейли показал, че струята се разпада на капки поради малки случайни нарушения на идеалната ѝ цилиндрична форма, които обикновено възникват при изтичането ѝ от изходния отвор.

Всяко нарушение на цилиндричната форма може да се представи като суперпозиция на хармонични вълни по дължината на стълба течност, както е показано на фиг. 2, б. Силите на повърхностно напрежение свиват още повече стеснените участъци, докато уширените участъци допълнително се раздуват. След определено време $t_\mathrm{d}$ струята се разпада на отделни капки. Като използвате метод на размерностите, получете израз за $t_\mathrm{d}$ посредством $r_0$ , повърхностното напрежение $\sigma$ и плътността $\rho$ на течността. [2 т.]

б) Да разгледаме конкретна вълна с дължина $\lambda$ и амплитуда $A \ll r_0$ , която води до модулация на радиуса на стълба течност от вида:

r(x) = r_0 + A\sin(kx),

а) невъзмутен цилиндричен стълб течност с радиус r0; б) модулиран стълб с радиус r(x) и ос x; в) снимка на струя дестилирана вода до линийка; г) снимка на струя сапунен разтвор до линийка. — Фиг. 2

където $x$ е координатата по оста на струята, както е показано на фиг. 2, б.

б1. Получете връзка между параметъра $k$ и дължината $\lambda$ на вълната. [1 т.]

б2. Като вземете предвид, че течността е неподвижна, получете израз за налягането $p_{\text{ш}}$ в най-широката и $p_{\text{т}}$ в най-тясната част на струята. [2 т.]

б3. Колко е минималната дължина $\lambda_{\min}$ на вълната, при която стълбът течност е неустойчив, т.е. амплитудата на вълната нараства с времето, докато струята се разпадне на капки? [2 т.]

б4. Колко е минималният радиус $r_{\min}$ на получените капки, ако приемете, че те имат сферична форма? [1 т.]

в) На фиг. 2, в е снимана струя дестилирана вода, която изтича от отвор с радиус $r_0 = 1.0\ \mathrm{mm}$ с начална скорост $v_0 = 5.0\ \mathrm{cm/s}$ , а на фиг. 2, г – струя сапунен разтвор, изтичаща със същата скорост от отвор със същия радиус. Като използвате данни от снимките, оценете стойността на безразмерния коефициент C в получения от вас израз за времето $t_\mathrm{d}$ и определете приблизително повърхностното напрежение $\sigma_1$ на сапунения разтвор. [2 т.]

Отговори

Решение

а) I метод

При условие, че гравитацията не играе роля за протичане на явлението, следва, че времето $t_\mathrm{d}$ не зависи от $g$ . От останалите три параметъра – $r_0$ , $\sigma$ и $\rho$ , може да се състави еднозначно комбинация с размерност на време, защото броят на параметрите е равен на броя на основните единици:

t_\mathrm{d} = Cr_0^{\alpha}\sigma^{\beta}\rho^{\gamma},

[0.3]

където $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ са неизвестни степенни показатели, а C е безразмерен коефициент на пропорционалност. Размерностите на величините във формулата, изразени чрез основни единици на SI, са:

[t_\mathrm{d}] = \mathrm{s},\quad [r_0] = \mathrm{m},\quad [\sigma] = \mathrm{N/m} = \mathrm{kg.s^{-2}},\quad [\rho] = \mathrm{kg.m^{-3}}.

[0.3], [0.1]

След като изравним размерностите на двете страни, получаваме:

\mathrm{m^0 s^1 kg^0} = \mathrm{m}^{\alpha - 3\gamma}.\,\mathrm{s}^{-2\beta}.\,\mathrm{kg}^{\beta + \gamma},

откъдето следва системата уравнения:

\begin{cases}\alpha - 3\gamma = 0\\ -2\beta = 1\\ \beta + \gamma = 0\end{cases}

[0.3]

която има решение:

\begin{cases}\alpha = +3/2\\ \beta = -1/2\\ \gamma = +1/2\end{cases}

[0.5]

Така окончателно намираме:

t_\mathrm{d} = Cr_0^{3/2}\sigma^{-1/2}\rho^{1/2} \equiv C\sqrt{\frac{\rho r_0^3}{\sigma}}.

[0.5]

II метод

Комбинация с размерност на време може да се получи и чрез аналогия с познат закон, в който участват величини със същата рамерност, както в дадената задача. Например периодът на пружинно махало с маса m и коефициент на еластичност k се дава с израза:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

[0.5]

Лесно можем да забележим, че повърхностното напрежение има същата размерност като коефициента на еластичност:

[k] = [\sigma] = \mathrm{N/m},

[0.5]

а масата – размерност на плътност по обем:

[m] = [\rho][V] = [\rho][r_0]^3.

[0.5]

Следователно, ако заместим в лявата страна периода с търсеното време, а в дясната страна – масата с $\rho r_0^3$ , коефициента на еластичност със $\sigma$ и отчетем, че безразмерният коефициент C е неизвестен, получаваме равенство с размерност на време и от двете страни:

t_\mathrm{d} = C\sqrt{\frac{\rho r_0^3}{\sigma}}.

[0.5]

б1) От условието $r(x) = r(x + \lambda)$ за периодичност на вълната следва, че:

\sin(kx) = \sin(kx + k\lambda),

[0.5]

Понеже синусът има период $2\pi$ , за връзката между $k$ (т.нар. вълнов вектор) и $\lambda$ , получаваме:

k\lambda = 2\pi.

[0.5]

б2) В най-широкото или в най-тясното напречно сечение (т.е. перпендикулярно на x), радиусът на кривината съвпада с радиуса на струята:

R_1 \equiv r(x) = r_0 + A\sin(kx).

[0.5]

В надлъжно сечение (т.е. в равнината на чертежа):

1/R_2 = -r''(x) = k^2 A\sin(kx).

[0.5]

В най-широката част $\sin(kx) = 1$ , откъдето следва $R_1 = r_0 + A$ , $1/R_2 = k^2 A$ и:

p_{\text{ш}} = \sigma\left(\frac{1}{r_0 + A} + k^2 A\right).

[0.5]

В най-тясната част $\sin(kx) = -1$ , откъдето следва $R_1 = r_0 - A$ , $1/R_2 = -k^2 A$ и:

p_{\text{т}} = \sigma\left(\frac{1}{r_0 - A} - k^2 A\right).

[0.5]

б3) Струята е неустойчива, ако $p_{\text{ш}} < p_{\text{т}}$ . Тогава по-високото налягане в тесните части води до по-нататъшното им стесняване, поради изтичане на течността към по-широките части, където налягането е по-ниско. От неравенството:

\sigma\left(\frac{1}{r_0 + A} + k^2 A\right) < \sigma\left(\frac{1}{r_0 - A} - k^2 A\right).

[1.0]

следва:

k^2 A < \frac{A}{r_0^2 - A^2}.

Ако пренебергнем A в сравнение с r₀ и вземем предвид, че $k = 2\pi/\lambda$ , получаваме:

\lambda > \lambda_{\min} = 2\pi r_0,

[1.0]

т.е. минималната дължина на вълната е равна на обиколката на струята. Този резултат съответства на експерименталното наблюдение на Плато, според което „... за да се разпадне струята на капки, дължината ѝ трябва да е поне 3.11–3.18 пъти по-голяма от нейния диаметър”.

б4) Струята се прекъсва в най-тесните си места, които се намират на разстояние $\lambda_{\min}$ едно от друго. Обемът течност между две стеснения е:

V_{\min} = \pi r_0^2\lambda_{\min} = 2\pi^2 r_0^3.

[0.3]

Откъсналата се течност образува сферична капка със същия обем, т.е.:

V_{\min} = \frac{4}{3}\pi r_{\min}^3,

[0.2]

откъдето намираме:

r_{\min} = \sqrt[3]{\frac{3V_{\min}}{4\pi}} = r_0\sqrt[3]{\frac{3\pi}{2}} \approx 1.68 r_0

[0.5]

в) Разстоянието h от отвора до мястото на откъсване на първата капка е равно на пътя при свободно падане с начална скорост $v_0$ в продължение на време $t_\mathrm{d}$ :

h = v_0 t_\mathrm{d} + \frac{g t_\mathrm{d}^2}{2}.

[0.2]

Така намираме времето за разпадане на струята:

t_\mathrm{d} = \frac{v_0}{g}\left(\sqrt{1 + \frac{2gh}{v_0^2}} - 1\right).

[0.4]

За струята дестилирана вода отчитаме от снимката $h \approx 6.8\ \mathrm{cm}$ и пресмятаме:

t_\mathrm{d} \approx 0.113\ \mathrm{s}.

[0.2]

Като използваме получения в т. а) израз за $t_\mathrm{d}$ , намираме безразмерния коефициент:

C = t_\mathrm{d}\sqrt{\frac{\sigma}{\rho r_0^3}} = 0.113\ \mathrm{s} \times \sqrt{\frac{7.2 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/s^2}}{1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3} \times 1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{m^3}}} \approx 30.

[0.5]

За струята сапунен разтвор $h_1 \approx 16.0\ \mathrm{cm}$ и съответно времето за разпадане на струята е:

t_{\mathrm{d},1} \approx 0.176\ \mathrm{s}.

[0.2]

Като вземем предвид, че при един и същ радиус на струята и еднаква плътност на двете течности $t_\mathrm{d} \propto \sigma^{-1/2}$ , получаваме:

\sigma_1 = \frac{\sigma t_\mathrm{d}^2}{t_{\mathrm{d},1}^2} = \frac{72\ \mathrm{mN/m} \times 0.123^2}{0.186^2} \approx 30\ \mathrm{mN/m}.

[0.5]

Уточнение. Понеже разстоянията, които струите изминават преди да се разпаднат, не са точно дефинирани, за верни се приемат всички отчетени стойности в интервалите $5.0\ \mathrm{cm} \le h \le 7.0\ \mathrm{cm}$ и $14.0\ \mathrm{cm} \le h_1 \le 16.0\ \mathrm{cm}$ . За верни се приемат стойности на C и $\sigma_1$ , които са пресметнати правилно за съответните отчетени стойности на $h$ и $h_1$ .

Оригинал в Архива: esenni_2024_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2024_STsolutions.pdf