НЕСФ 2024, 10. клас — Задача 3

• 3.1. $R_{CD} = \frac{R_0}{4} = \frac{\rho\pi r}{4S}$

  $R_0 = \rho\pi r/S$ е съпротивлението на един меридиан; поради симетрията през паралелите не тече ток.

• 3.2. $R_{AB} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}\,\frac{\rho\pi r}{S} = \frac{1}{2(\sqrt{2} + 1)}\,\frac{\rho\pi r}{S}$

  С $R_0 = \rho\pi r/S$ и $R_1 = \sqrt{2}R_0$ (съпротивление на малък паралел).

Решение 3.1. Ако подадем напрежение между точки $C$ и $D$, поради симетрията, пресечните точки на всеки от паралелите с всеки от четирите меридиана ще имат еднакъв потенциал и между тях няма да протича ток. Така ако изключим паралелите от веригата общото съпротивление няма да се промени и ще се определя то само от съпротивлението на четирите успоредни свързани меридиана. (1 т.) Дължината на всеки меридиан е $L_0 = \pi r$, а съпротивлението му е $R_0 = \rho L_0 / S$. (1 т.) Тогава $R_{CD}$ е:

Решение 3.2. Сферата е симетрична спрямо двата меридиана, които не лежат в равнината $ACBD$ и по тях няма да тече ток, така че може да ги изключим от веригата и сферата ще изглежда като тази на фигурата. (1 т.) Съпротивлението ѝ ще се определя от това на трите успоредно свързани проводника между точки 1 и 2 (съотв. 3, 4 за долния полюс). Те от своя страна са вързани последователно на дъгите $\overset{\frown}{A1}$ и $\overset{\frown}{2B}$ (съотв. на $\overset{\frown}{B3}$ и $\overset{\frown}{4A}$ за долния полюс). (1 т.) Така общото съпротивление ще се определя от четири успоредно свързани съпротивления: над и под екватора както и двете половини на екватора, които имат съпротивление като това на меридианите – $R_0$. (1 т.)

Дължината на всеки от малките паралели е $L_1 = 2\pi r/\sqrt{2}$, (1 т.) съответно съпротивлението им е $R_1 = \rho L_1 / S$. (1 т.) Така получаваме:

Като заместим $R_1 = \sqrt{2}R_0$ получаваме окончателния отговор: