Съдържание

НЕСФ 2024, 11. клас — Задача 3. Стрелба под обсада

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Национално есенно състезание по физика 2024, тема за 11. клас (V състезателна група) · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Обсадените в древна крепост са водели стрелба по настъпващия противник с помощта на катапулт зад крепостната стена с височина $\mathrm{H} = 20\ \mathrm{m}$ . Началната скорост на изстрелваните гюлета е $\upsilon_0 = 25\ \mathrm{m/s}$ . На фиг. 3 е показана траекторията на гюле, която минава непосредствено над крепостната стена.

Параболична траектория от катапулт до цел; вертикална отсечка H на стената и хоризонтален размер s до целта. — Фиг. 3 — траекторията на гюле, изстреляно от катапулта, което минава непосредствено над крепостната стена с височина $H$ ; $s$ е разстоянието от стената до целта.

Указание. Тъй като вида на траекторията не зависи от посоката на движение по нея - от катапулта към целта или от целта към катапулта,разгледайте движението на гюлето от целта към катапулта в координатна система с начало в целта, вертикална ос нагоре и хоризонтална ос от целта към катапулта.

Полезна формула: $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \mathrm{tg}^2\alpha$

а) На какво максимално разстояние $\mathrm{s_{max}}$ от крепостната стена може да се намира цел, по която стрелят обсадените, ако траекторията на гюлето е показаната на фиг. 3? [8 т.]

б) Сравнете това разстояние с максималната възможна далечина на полета $\mathrm{L_{max}}$ на гюлетата, ако няма крепостна стена. Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Приемете земното ускорение $\mathrm{g} \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като в крайната точка скоростта на гюлето по големина има същата стойност както при изстрелването му, можем да използваме обратимостта на движението и да разгледаме движение на гюлето, при което то е изстреляно от целта и се движи към крепостта като минава непосредствено над стената (фиг. 4). [1 т.] Уравненията на движение на гюлето по хоризонталната и вертикалната ос са

Същата парабола, но с координатни оси в целта: x наляво към катапулта, y нагоре, вектор v0 под ъгъл α. — Фиг. 4 (решение) — обърнатото движение: гюлето е „изстреляно“ от целта под ъгъл $\alpha$ към катапулта, координатна система с начало в целта.

\mathrm{x(t)} = \upsilon_{0\mathrm{x}}\mathrm{t} = (\upsilon_0\cos\alpha)\,\mathrm{t},

[1 т.]

\mathrm{y(t)} = \upsilon_{0\mathrm{y}}\mathrm{t} + \frac{\mathrm{a_y}\mathrm{t}^2}{2} = (\upsilon_0\sin\alpha)\,\mathrm{t} - \frac{\mathrm{g}\mathrm{t}^2}{2}.

[1 т.]

Като изключим $\mathrm{t}$ , получаваме уравнението на траекторията на гюлето

y = x\,\mathrm{tg}\alpha - \frac{\mathrm{g}x^2}{2\upsilon_0^2\cos^2\alpha}.

[1 т.]

Когато положим $\mathrm{x} = \mathrm{s}$ , разстоянието между целта и крепостната стена, $\mathrm{y} = \mathrm{H}$ и използваме формулата от условието, получаваме

\mathrm{H} = \mathrm{s}\,\mathrm{tg}\alpha - \frac{\mathrm{g}\mathrm{s}^2}{2\upsilon_0^2}(1 + \mathrm{tg}^2\alpha).

[1 т.]

Последното равенство може да се разглежда като квадратно уравнение за $\mathrm{tg}\alpha$ при зададени стойности на $\mathrm{H}$ и $\mathrm{s}$ .

\mathrm{tg}^2\alpha - 2\frac{\upsilon_0^2}{\mathrm{gs}}\mathrm{tg}\alpha + \left(1 + \frac{2\upsilon_0^2\mathrm{H}}{\mathrm{gs}^2}\right) = 0.

[1 т.]

Това уравнение има решение, когато дискриминантата му е неотрицателна, т.е.

\mathrm{D} = \left(\frac{\upsilon_0^2}{\mathrm{gs}}\right)^2 - \left(1 + \frac{2\upsilon_0^2\mathrm{H}}{\mathrm{gs}^2}\right) \ge 0,

[0,5 т.]

при което получаваме неравенството

\mathrm{s} \le \frac{\upsilon_0^2}{\mathrm{g}}\sqrt{1 - \frac{2\mathrm{gH}}{\upsilon_0^2}}.

[0,5 т.]

Следователно намираме

\mathrm{s_{max}} = \frac{\upsilon_0^2}{\mathrm{g}}\sqrt{1 - \frac{2\mathrm{gH}}{\upsilon_0^2}} \approx 38{,}9\ \mathrm{m}.

[1 т.]

б) Максималната дължина $\mathrm{L_{max}}$ на полета на гюлето съответства на ъгъл на изстрелване $\alpha = 45^\circ$ , което е еквивалентно на $\mathrm{H} = 0$ . [1 т.] В заключение намираме

\mathrm{L_{max}} = \frac{\upsilon_0^2}{\mathrm{g}} \approx 63{,}8\ \mathrm{m}.

[1 т.]

Оригинал в Архива: 11_202411_burhas_11_mrvakov_zad.pdf · официални решения: 11_202411_burhas_11_mrvakov_resh.pdf