НЕСФ 2024, 12. клас — Задача 2. Вертикални пружини (две независими части)

Част I

В състояние на равновесие пружината е опъната и оказва сила $F = k\Delta\ell$ върху горното бутало надолу и върху долното бутало нагоре. [0,5 т.] Силата върху горното бутало създава допълнително налягане $F/S_{\mathrm{г}}$ между буталата. [0,5 т.] Така на долното бутало има налягане $\rho g\ell + F/S_{\mathrm{г}}$ над атмосферното, като с $\ell$ сме означили дължината на пружината. [0,5 т.] Сумарната сила върху долното бутало трябва да е нулева, т.е. $k\Delta\ell = S_{\mathrm{д}}(\rho g\ell + F/S_{\mathrm{г}}) = S_{\mathrm{д}}(\rho g\ell_0 + \rho g\Delta\ell + k\Delta\ell/S_{\mathrm{г}})$. [0,5 т.] Следователно, разтягането на пружината е $\Delta\ell = \frac{\rho g\ell_0 S_{\mathrm{г}}S_{\mathrm{д}}}{k(S_{\mathrm{г}}-S_{\mathrm{д}})-\rho g S_{\mathrm{г}}S_{\mathrm{д}}} = \frac{\ell_0}{\frac{k}{\rho g}\left(\frac{1}{S_{\mathrm{д}}}-\frac{1}{S_{\mathrm{г}}}\right)-1} \approx 6\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

Част II

а) Законът за запазване на енергията (ЗЗЕ) преди удара дава, че $\frac{kd^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kd^2}{8} + mgd/2$ (отчитаме гравитационната потенциална енергия спрямо началното положение на теглилката), където с $v$ сме означили скоростта на теглилката в момента преди удара. [1 т.] При нееластичния удар се запазва сумарният импулс на двете тела, т.е. $mv = 3mv'/2$, където $v'$ е скоростта на горния край на пружината след удара. [1 т.] Нека да използваме отново ЗЗЕ след удара: $\frac{3mv'^2}{4} + \frac{kd^2}{8} + \frac{3mgd}{4} = \frac{mv^2}{3} + \frac{kd^2}{8} + \frac{3mgd}{4} = \frac{3mgd}{2}$. [1,5 т.] От получените уравнения може да се пресметне търсеното $k = \frac{26mg}{9d} \approx 0{,}11\ \mathrm{kN/m}$. [1,5 т.]

б) От условието се вижда, че горното крайно положение на махалото е при неразтегната пружина. За да намерим амплитудата, трябва да установим с колко $\Delta L$ е свита пружината в равновесно състояние. [0,5 т.] Тогава сумарната сила върху края на пружината се нулира, т.е. $k\Delta L = 3mg/2$. [0,5 т.] Амплитудата на трептене е $A = \Delta L = \frac{3mg}{2k} = \frac{27d}{52} = 2{,}7\ \mathrm{cm}$. [1 т.]