НЕСФ 2024, 12. клас — Задача 3. Заредени топчета

а) В началото системата е симетрична относно вертикалната медиана на триъгълника. Оттук може да се съобрази, че силите на опън на горните две нишки са равни на електростатичните сили между топчето със заряд $Q$ и останалите две топчета: $T_{\mathrm{г}} = \frac{kqQ}{a^2}$. [1 т.] Следователно, равновесието на долните две топчета е възможно, само ако $T_{\mathrm{д}} = \frac{kq^2}{a^2}$. [1 т.]

б) Потенциалът в центъра на триъгълника е алгебрична сума на потенциалите на трите топчета в тази точка. [0,5 т.] Като използваме, че разстоянието от връх до медицентъра на равностранния триъгълник със страна $a$ е $a/\sqrt{3}$, ще получим, че $\varphi_{\mathrm{ц}} = \frac{\sqrt{3}k(2q+Q)}{a}$. [1 т.]

в) Електричната потенциална енергия може да се изрази като работата за приближаване на топчетата във върховете на равностранен триъгълник със страна $a$, ако първоначално топчетата са безкрайно далеч едно от друго и съответно имат нулева електрична потенциална енергия. [0,5 т.] За да приближим двете топчета със заряд $q$ едно до друго, трябва да извършим работа $A_{qq}$, равна на тяхната електрична потенциална енергия: $A_{qq} = \frac{kq^2}{a}$. [0,5 т.] За да приближим третото топче до вече приближените топчета, трябва да извършим работа $A_Q$, която е равна на заряда $Q$, умножен по електричния потенциал в съответния връх: $A_Q = \frac{2kqQ}{a}$. [0,5 т.] Така получаваме, че $W = A_{qq} + A_Q = \frac{kq(2Q+q)}{a}$. [0,5 т.]

г) Електричната потенциална енергия в момента, когато топчетата са подредени на една линия (вж. фигурата вляво), се получава по аналогичен начин на предното подусловие. Първо приближаваме двете топчета със заряд $q$ на разстояние $2a$ едно от друго, при което извършваме работа $A'_{qq} = \frac{kq^2}{2a}$. [0,5 т.] След това преместваме третото топче по средата между останалите две, за което работата $A_Q$ е същата като в предното подусловие. [0,5 т.] Новата потенциална енергия е $W' = A'_{qq} + A_Q = \frac{kq(4Q+q)}{2a}$. [0,5 т.]

д) Системата от три свързани топчета е затворена, което означава, че сумарният импулс на системата се запазва (т.е. е винаги нулев) и нейният център на масата е неподвижен. [0,5 т.] Симетрията на задачата води до вертикално движение на топчето със заряд $Q$. [0,5 т.] В момента, когато топчетата са на една линия, топчето със заряд $Q$ е в центъра на масата със скорост $v_Q$. Тогава другите две топчета се движат също вертикално (нишките са опънати) в обратна посока с наполовина по-малка скорост, за да е нула сумарният импулс. [0,5 т.] Нека да използваме и закона за запазване на енергията: $W = \frac{mv_Q^2}{2} + 2\frac{m}{2}\left(\frac{v_Q}{2}\right)^2 + W'$. [0,5 т.] Оттук и от предишните подусловия получаваме, че $v_Q = q\sqrt{\frac{2k}{3ma}}$. [1 т.]