НЕСФ 2024, Специална тема — Задача 1. Трептяща гира

• а) $\Delta\ell = 2v_0\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}} = 0.04\ \mathrm{m}$

• б) $t_1 = \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}} \approx 0.105\ \mathrm{s}$

• в) $t_2 = \dfrac{\phi}{\omega} \approx 0.16\ \mathrm{s}$

  Фазата $\phi \approx 2.47$ rad е корен на $\phi/4.00 = \sin\phi$ в интервала $[\pi/2;\pi]$.

а) Избираме ос x по нормалата към стената с посока навън от стената, т.е. противоположно на началната скорост на гирата, както е показано на фигурата. Непосредствено след удара проекцията на скоростта на първата топка по x става $v_{1x} = v_0$, а на втората съответно $v_{2x} = -v_0$. Скоростта на центъра на масата (ЦМ) след удара е:

В отправната система на ЦМ, скоростите на двете топки след удара са:

а общата им кинетична енергия:

В момента на максимално свиване на пружината двете топки са неподвижни спрямо ЦМ и началната кинетична енергия се е трансформирала изцяло в потенциална енергия на пружината:

откъдето намираме:

б) В отправна система на ЦМ топките трептят хармонично в противофаза. Нека преместването на първата топка спрямо равновесното ѝ положение в даден момент е x₁. Понеже ЦМ е неподвижен, втората топка се е преместила в противоположна посока на разстояние:

а деформацията на пружината е съответно:

От закона на Хук следва, че уравнението за движение на първата топка е:

което описва хармонично трептене с кръгова честота:

и период:

След удара пружината достига от недеформирано състояние до състояние с максимална деформация за четвърт период:

в) След удара, в отправна система на ЦМ топката се движи по закона:

с амплитуда:

В същата отправна система, след удара стената се движи спрямо ЦМ със скорост $-v_\mathrm{C}$ и преместването ѝ се дава съответно със закона:

Вторият удар настъпва в момента, в който координатите на топката и стената се изравнят:

откъдето получаваме уравнението:

Удобно е уравнението да се решава спрямо фазата $\phi = \omega t$. Като вземем предвид числените стойности на двете маси, свеждаме уравнението до:

Търсим решение на уравнението в интервала $[\pi/2\,;\pi]$. Левият край, където $f(\phi) < 0$, съответства на момента на максимална деформация, който очевидно е преди втория удар. В десния край $f(\phi) > 0$, което означава, че между двете стойности уравнението има корен. $[0.5\ \text{т}]$ Решаваме уравнението чрез последователно разполовяване на интервала, така че в левия край на всеки нов интервал функцията да е отрицателна, а в десния край – положителна. Деленето продължава, докато границите $\phi_1$ и $\phi_2$ на интервала съвпаднат в рамките на желаната точност, както е дадено в таблицата по-долу. $[0.5\ \text{т}]$

Следователно можем да приемем, че решението на уравнението е приблизително $\phi \approx 2.47\ \mathrm{rad}$, а съответният момент на втория удар:

Точките за числено решение – от формула (17) до края, се дават за всеки друг обоснован метод – графичен, Нютон–Рафсон, последователни приближения и т.н.