НЕСФ 2024, Специална тема — Задача 3. Раждане на електрон-позитронна двойка

Национално есенно състезание по физика, Бургас, 08–10 ноември 2024 г. — Специална тема · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Позитронът е античастицата на електрона – има същата маса като електрона, но противоположен заряд. При взаимодействие на електрон и позитрон е възможна т.нар. анихилация, при която двете частици изчезват и се появяват два високоенергетични фонтона ($\gamma$-кванти). Обратният процес теоретично е възможен, но на практика е малковероятен. Затова при облъчване на вещество с $\gamma$-кванти, електрон-позитронни двойки възникват при взаимодействие на фотоните със заредени частици – атомни ядра или електрони от електронната обвивка на атомите. Може да приемете, че преди взаимодействието с $\gamma$-кванта заредената частица е неподвижна.

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma = 6{,}67.10^{-11}\mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците – електрон	$m_\mathrm{e} = 9{,}109.10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците – протон	$m_\mathrm{p} = 1{,}673.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците – неутрон	$m_\mathrm{n} = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_\mathrm{C} = 9{,}00.10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_\mathrm{C} \approx 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$

Някои таблични интеграли:

$\int x^n\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n \neq -1); \qquad \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln x + C;$

$\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C; \qquad \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C;$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\,x + C.$

а) Получете израз за минималната енергия $E_\gamma$ на $\gamma$-квант, взаимодействащ с частица с маса $M$ в покой, така че фотонът да изчезне и да се роди двойка електрон и позитрон. [7 т.]

б) Пресметнете $E_\gamma$ в мегаелектронволти при взаимодествие на фотона с: 1) тежко атомно ядро ($M \gg m_\mathrm{e}$) и 2) с електрон ($M = m_\mathrm{e}$), където $m_\mathrm{e}$ е масата на електрона в покой. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: ST_202411_burhas_st_yvanov_zad.pdf · официални решения: ST_202411_burhas_st_yvanov_resh.pdf