Съдържание

НЕСФ 2025, 10. клас — Задача 1. Бързо, по-бързо, най-бързо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Национално есенно състезание по физика, София, 7-9 ноември 2025 г. — Тема за четвърта състезателна група (10. клас) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Във всички задачи от темата приемете, че земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Към натоварена с пясък количка с обща маса $M = 100\ \mathrm{kg}$ е завързано дълго въже, което преминава през свободно въртяща се макара, закрепена на стена на разстояние $\ell$ от количката (фиг. 1 (а)). Работник с маса $m = 80\ \mathrm{kg}$ трябва да придвижи количката до стената, като дърпа свободния край на въжето със сила $F = 240\ \mathrm{N}$ . За целта той може да постъпи по два начина: 1) да дърпа въжето, докато стои неподвижен на земята; 2) да се качи на количката и дърпайки въжето да се „вози” на нея до стената.

При кой от двата начина на придвижване количката ще стигне до стената по-бързо? Докажете отговора си с пресмятания. Приемете, че при търкаляне на колелата на количката по земята им действа сила на триене с коефициент $k = 0{,}2$ . [5 т.]

Две схеми една до друга: количка на колела, въже през макара, закрепена на стена на разстояние ℓ; вляво работникът стои на земята зад количката, вдясно работникът седи върху количката. — Фиг. 1 (а). Начин 1 — работникът дърпа въжето, стоейки на земята; Начин 2 — работникът се вози на количката и дърпа въжето.

Окръжност с точка A най-горе и точка B долу вляво; между тях е опъната права жичка с означение ℓ, върху която има мънисто и стрелка, сочеща надолу по жичката. — Фиг. 1 (б). Хорда $AB$ с дължина $\ell$ във вертикален обръч, с мънисто, което се хлъзга от $A$ към $B$ .

б) Между най-високата точка $A$ от вертикален обръч с радиус $R$ и друга точка $B$ от обръча е опъната тънка метална жичка с дължина $\ell$ ( $\ell \le 2R$ ). На жичката е нанизано леко мънисто, което може да се хлъзга по нея без триене. При каква дължина на жичката мънистото ще стигне от т. $A$ до т. $B$ за най-малко време, ако започне да се хлъзга без начална скорост? [3 т.]

в) Алпинист трябва да се придвижи между две вертикални скали на разстояние $a$ една от друга, като се хлъзга по опънато между скалите въже. Колко трябва да бъде разликата $h$ между височините на двата края на въжето, така че алпинистът да стигне до другата скала за най-малко време? Колко е това минимално време? Приемете, че въжето не се огъва от тежестта на алпиниста и хлъзгането е без триене. [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. Бързо, по-бързо, най-бързо (две независими подусловия)

а) В първия случай силата на опън на въжето е равна на силата $F$ , с която го дърпа работникът. Означаваме с $a_1$ ускорението на количката при първия начин на дърпане. От II принцип на механиката:

Ma_1 = F - f_1 \qquad \textbf{(0.5 т)}

където:

f_1 = kMg \qquad \textbf{(0.5 т)}

е силата на триене. Така получаваме:

a_1 = F/M - kg = 0{,}44\ \mathrm{m/s^2}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Във втория случай работникът и количката образуват общо тяло с маса $M + m$ и силата на триене между количката и пътя е $f_2 = k(M + m)g$ . (0.5 т)

Двете схеми от условието, допълнени със стрелки за силите: вляво f1 назад и F напред; вдясно f2 назад и две стрелки F напред. — Силите, действащи на количката при двата начина на придвижване: триене $f_1$ и опън $F$ (Начин 1); триене $f_2$ и две сили $F$ (Начин 2).

Според III принцип на механиката свободният край на въжето упражнява върху работника същата по големина сила $F$ , но в посоката на движение на количката. Следователно върху системата количка+работник действа равнодействаща сила $2F$ . От II принцип на механиката:

(M + m)a_2 = 2F - f_2 \qquad \textbf{(1.0 т)}

намираме ускорението при втория начин на придвижване:

a_2 = 2F/(M + m) - kg \approx 0{,}71\ \mathrm{m/s^2} \qquad \textbf{(1.0 т)}

Понеже $a_2 > a_1$ количката ще достигне стената по-бързо във втория случай. (0.5 т)

б) Нека означим с $\alpha$ ъгъла, който жичката сключва с вертикалата.

Разликата във височините между точките $A$ и $B$ е:

h = |AC| = |AB|\cos\alpha = \ell\cos\alpha.

От закона за запазване на енергията:

\frac{mv^2}{2} = mgh \qquad \textbf{(0.5 т)}

Окръжност с център O, точка A горе, точка B долу вляво, отсечка AB с ъгъл α спрямо вертикалата AC, пунктирани отсечки OH, OB и BC. — Геометрия към подусловие б): хорда $AB$ , ъгъл $\alpha$ с вертикалата, център $O$ , радиус $R$ , среда $H$ на хордата и проекция $C$ .

намираме скоростта, с която мънистото достига точка $B$ :

v = \sqrt{2g\ell\cos\alpha}. \qquad \textbf{(0.5 т)}

При равноускорително движение $v = at$ и $\ell = at^2/2$ , откъдето намираме времето за спускане:

t = 2\ell/v = \sqrt{2\ell/(g\cos\alpha)} \qquad \textbf{(1.0 т)}

От чертежа е ясно, че:

\ell = |AB| = 2|AH| = 2R\cos\alpha,

откъдето получаваме:

t = 2\sqrt{R/g}. \qquad \textbf{(0.5 т)}

Следователно мънистото достига всички точки от обръча за едно и също време, независимо колко е дължината на жичката. (0.5 т)

в) Да приемем, че от т. $A$ излизат нишки под различни ъгли спрямо вертикалата, по които едновременно започват да се хлъзгат малки тела. Съгласно резултата от т. б във всеки момент телата ще лежат на една разширяваща се с времето окръжност с връх в т. $A$ и център $O$ вертикално под нея. (0.5 т) Най-малкото време $t$ на движение съответства на момента, в който окръжността допира противоположната скала в т. $B$ , защото тогава първото тяло достига скалата. (0.5 т) В този момент радиусите $OA$ и $OB$ на окръжността са взаимно перпендикуларни и съответно:

h = R = a. \qquad \textbf{(0.5 т)}

Схема с точка A горе, няколко пунктирани окръжности с нарастващ радиус, прави отсечки от A под различни ъгли, вертикална втора скала на разстояние a и означена височинна разлика h до точка B. — Към подусловие в): разширяващите се с времето окръжности с връх в т. $A$ ; най-малкото време съответства на окръжността, която допира отсрещната скала в т. $B$ , при което $h = R = a$ .

От резултата, получен в т. б следва, че:

t = 2\sqrt{a/g}. \qquad \textbf{(0.5 т)}

Оригинал в Архива: esenni_2026_10problems.pdf · официални решения: esenni_2026_10solutions.pdf