Съдържание

НЕСФ 2025, 10. клас — Задача 2. Махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Национално есенно състезание по физика, София, 7-9 ноември 2025 г. — Тема за четвърта състезателна група (10. клас) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 2 (а) е изобразено математично махало с дължина на нишката $l = 56\ \mathrm{cm}$ . В началния момент ( $t = 0$ ) махалото е отклонено от равновесното му положение и на окаченото тяло е придадена начална скорост $v_0$ в показаната на фигурата посока. На фиг. 2 (б) е дадена графика на зависимостта на отклонението $x$ на окаченото тяло спрямо вертикалата, минаваща през точката на окачване, от времето $t$ за определен интервал след началото на движението.

Махало, окачено на хоризонтална опора; нишка с означение l, отклонена надясно от пунктирана вертикала; топче с наклонена стрелка v0; хоризонтална ос x с начало 0 под точката на окачване. — Фиг. 2 (а). Математично махало с дължина $l$ , окачено на тавана; в началния момент тялото е отклонено и има начална скорост $v_0$ , насочена надясно и нагоре.

Синусоидална крива в координати x (cm) от -15 до 15 и t (s); кривата започва от x = 5 cm нагоре, достига максимум 10 cm, минимум -10 cm и отново се качва до 10 cm; по абсцисата има малки скални деления без числа. — Фиг. 2 (б). Графика на отклонението $x$ (в cm) от времето $t$ (в s); по абсцисата няма нанесени числени стойности, а само скални деления.

Махало, закрепено в горния край на вертикална стена; нишка с означение l, отклонена надясно; топче с наклонена стрелка v0; хоризонтална ос x с начало 0 в основата на стената. — Фиг. 2 (в). Същото махало, окачено на твърда вертикална стена.

Указания

Всички крайни числени отговори в тази задача закръгляйте до две значещи цифри, например $1{,}7.10^4$ , $0{,}041$ или $3{,}0$ .
Ако $|a| < 0{,}1$ , може да използвате следната приблизителна формула за коренуване $\sqrt{1 + a} \approx 1 + a/2$ , която дава резултат с точност до втория знак след десетичната запетая.

а) На графиката от фиг. 2 (б) няма нанесени числени стойности по абсцисата. На колко секунди съответства едно малко скално деление от абсцисата? [2 т.]

б) Като използвате модела от фиг. 2 (а), начертайте схематично положението на махалото и посоката на скоростта му в момента $t = 1{,}2\ \mathrm{s}$ . [2,5 т.]

в) На колко е равна началната скорост $v_0$ на окаченото тяло? [3,5 т.]

г) Вместо на тавана, махалото е окачено на твърда вертикална стена, както е показано на фиг. 2 (в). То е отклонено на същото разстояние и е пуснато да се люлее със същата начална скорост, както в случая, показан на фиг. 2 (а). При удар със стената окаченото тяло отскача в противоположна посока със скорост, два пъти по-малка от скоростта, с която се е движило преди удара. Определете времето $t_5$ , изминало от началния момент до момента на петия поред удар със стената. [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 2. Махало

а) Периодът на махалото е:

T = 2\pi\sqrt{l/g} = 1{,}5\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

(0,5 т. за буквен израз + 0,5 т. за числена стойност с две значещи цифри)

От графиката се вижда, че окаченото тяло се връща в началното си положение със същата по посока скорост, след време, съответсващо на $N = 15$ скални деления. (0.5 т)

Следователно времето, съответстващо на едно скално деление, е:

t_{\text{ск.д.}} = T/N = 0{,}10\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{(0.5 т)}

б) Моментът $t = 1{,}2\ \mathrm{s}$ съответства на дванадесетото скално деление. (0.5 т)

Вижда се, че в този момент отклонението е отрицателно, $x < 0$ , т.е. тялото се намира вляво от равновесното си положение. (0.5 т)

В дадения момент отклонението намалява по абсолютна стойност, т.е. тялото се доближава към вертикалата. (0.5 т)

Положението и скоростта на тялото в този момент са показани на схемата вляво.

За правилно изобразено положение (0,5 т)

Махало, окачено на таван; нишката е отклонена наляво от пунктираната вертикала, а от топчето излиза стрелка v, сочеща надясно и надолу. — Отговор на подусловие б): в момента $t = 1{,}2\ \mathrm{s}$ тялото е вляво от равновесното положение, а скоростта $v$ е насочена надясно (към вертикалата).

За правилно изобразена посока на скоростта (0,5 т)

в) Като нулева приемаме височината на равновесното положение на окаченото тяло. В началния момент тялото е на височина:

h_0 = l - \sqrt{l^2 - x_0^2} \qquad \textbf{(0.5 т)}

където $x_0 = 5{,}0\ \mathrm{cm}$ . Понеже $(x_0/l)^2 < 0{,}1$ , можем да приложим приблизителната формула за коренуване:

h_0 = l - l\sqrt{1 - \frac{x_0^2}{l^2}} \approx l - l\left(1 - \frac{x_0^2}{2l^2}\right) = \frac{x_0^2}{2l} \qquad \textbf{(0.5 т)}

При максимално отклонение вдясно тялото се намира на височина:

h_1 = l - \sqrt{l^2 - A^2} \qquad \textbf{(0.5 т)}

където $A = 10{,}0\ \mathrm{cm}$ е амплитудата на трептенето. Понеже и $(A/l)^2 < 0{,}1$ отново можем да приложим приближената формула:

h_1 \approx \frac{A^2}{2l} \qquad \textbf{(0.5 т)}

От закона за запазване на механичната енергия имаме:

\frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = mgh_1 \qquad \textbf{(0.5 т)}

защото при максимално отклонение тялото е неподвижно. Оттук изразяваме:

v_0 = \sqrt{g(A^2 - x_0^2)/l} \qquad \textbf{(0.5 т)}

Заместваме с числените данни и пресмятаме:

v_0 = \sqrt{\frac{9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\cdot\left((0{,}10\ \mathrm{m})^2 - (0.05\ \mathrm{m})^2\right)}{0{,}56\ \mathrm{m}}} = 0{,}36\ \mathrm{m/s} \qquad \textbf{(0.5 т)}

г) Ог графиката установяваме, че махалото се връща в положението, от което е пуснато след 0,5 s. Следователно махалото достига крайното си дясно положение за време 0,25 s след момента на пускане, т.е. една шеста от периода $T$ . (0.5 т) От крайното дясно положение махалото се връща във вертикално положение за време, равно на четвърт период на трептене. Следователно първият удар настъпва в момента:

t_1 = \frac{T}{6} + \frac{T}{4} = \frac{5}{12}T \qquad \textbf{(0.5 т)}

Независимо от скоростта, с която тялото отскача, времето между два удара е половината от периода на махалото.

\Delta t = \frac{T}{2} \qquad \textbf{(0.5 т)}

От първия до петия удар минават общо четири полупериода, т.е. два пълни периода. Следователно:

t_5 = t_1 + 2T = \frac{29}{12}T \approx 3{,}6\ \mathrm{s} \qquad \textbf{(0.5 т)}

Оригинал в Архива: esenni_2026_10problems.pdf · официални решения: esenni_2026_10solutions.pdf