Съдържание

НЕСФ 2025, 11. клас — Задача 1. Фотоефект

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Есенно национално състезание по физика, София, 07 – 09.11.2025 г. — Тема 11. клас (Пета възрастова група) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Лъчението на аргонов лазер е фокусирано в точка върху равнината на катод $K$ на вакуумен фотоелемент (фиг. 1). Между плоския анод $A$ и успоредния му катод $K$ , разположени на разстояние $d$ , се подава постоянно напрежение $U$ (ускоряващо или задържащо). Върху анода се наблюдават кръгли петна от попадналите електрони. Отделителната работа на електроните в катода е $A_0 = 2\ \mathrm{eV}$ , а дължината на вълната на лазерното лъчение е $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$ . Намерете:

Схема на вакуумен фотоелемент с анод A и катод K в стъклен балон, свързан към източник с напрежение U; наклонени лъчи падат върху катода. — Фиг. 1. Вакуумен фотоелемент: лазерният сноп е фокусиран върху катода $K$ , анодът $A$ е успореден на него, а между тях е приложено напрежението $U$ .

Полезни константи.

Константа на Планк – $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$

Елементарен заряд – $q_0 = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$

Скорост на светлината във вакуум – $c = 3{,}0.10^{8}\ \mathrm{m/s}$

а) израз за радиуса $R_1$ на петното от електрони върху анода при наличие на ускоряващо напрежение. Приемете, че движението на електроните се извършва с постоянно ускорение $a$ . [4 т.]

б) израз за радиуса $R_2$ на петното от електрони върху анода при наличие на задържащо напрежение, получено при размяна на полюсите на източника. Границите на петното се определят от електроните, които достигат анода с нулева компонента на скоростта, перпендикулярна на равнината на анода. [4 т.]

в) напрежението на източника, ако $R_1/R_2 = 2$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Фотоелектроните се отделят от повърхността на катода с максимална скорост, която се задава от уравнението на Айнщайн

E_{\mathrm{к},\max} = h\nu - A_0,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

където максималната кинетична енергия на електрона е

E_{\mathrm{к},\max} = \frac{mv_{\max}^2}{2}\qquad \textbf{[0,5 т.]}

и е изпълнено равенството $\nu = c/\lambda$ . Тогава имаме

\frac{mv_{\max}^2}{2} = h\frac{c}{\lambda} - A_0,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

т.е. получаваме израза

v_{\max} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(h\frac{c}{\lambda} - A_0\right)}.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

При ускоряващо напрежение радиусът на петното върху анода се определя от фотоелектроните, които при отделянето си от катода имат вектор на скоростта, насочен успоредно на повърхността на катода. Тогава тяхната начална компонента на скоростта по правата, перпендикулярна към анода, е $v_x = 0$ . [0,5 т.] Следователно те изминават разстоянието до анода за време

t_1 = \sqrt{\frac{2d}{a}},\qquad \textbf{[0,5 т.]}

при което се отклоняват в перпендикулярно направление и попадат върху анода на разстояние

R_1 = v_{\max}t_1.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно радиусът на петното върху анода се дава с израза

R_1 = \sqrt{\frac{4d}{ma}\left(h\frac{c}{\lambda} - A_0\right)}.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) При задържащо напрежение фотоелектронът трябва да има компонента на скоростта $v_x \neq 0$ , [0,5 т.] за да е възможно да попадне върху анода. Ще приемем, че векторът на скоростта на отделящия се от катода фотоелектрон сключва ъгъл $\alpha$ с повърхността на катода. [0,5 т.] Тогава имаме

v_{x,\mathrm{нач.}} = v_{\max}\sin\alpha.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно трябва да са изпълнени условията

v_{\max}\sin\alpha - at_2 = 0,\ \textbf{[0,5 т.]}\qquad v_{\max}\sin\alpha\,.\,t_2 - \frac{at_2^2}{2} = d,\ \textbf{[0,5 т.]}

където $t_2$ е времето за достигане на анода. От тези равенства следват изразите:

\sin\alpha = \frac{\sqrt{2da}}{v_{\max}},\ \textbf{[0,5 т.]}\qquad t_2 = \sqrt{\frac{2d}{a}} = t_1.\ \textbf{[0,5 т.]}

Радиусът $R_2$ на петното върху анода в този случай е

R_2 = (v_{\max}\cos\alpha)t_2 = R_1\sqrt{1 - \frac{2ad}{v_{\max}^2}} < R_1.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

в) Като използваме последния получен израз можем да запишем

\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{1 - \frac{mad}{E_{\mathrm{к},\max}}}.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тъй като имаме

ma = q_0\mathcal{E} = \frac{q_0U}{d},\qquad \textbf{[0,5 т.]}

за напрежението на източника получаваме

U = \frac{1}{q_0}\left[1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{2}\right]E_{\mathrm{к},\max} = \frac{3}{4q_0}\left(h\frac{c}{\lambda} - A_0\right) \approx 0{,}36\ \mathrm{V}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2026_11problems.pdf · официални решения: esenni_2026_11solutions.pdf