Съдържание

НЕСФ 2025, 12. клас — Задача 1. Салто мортале

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Есенно национално състезание по физика, 7 – 9 ноември 2025 г., София — Тема за 12. клас (шеста състезателна група) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Фигурата е само илюстративна.
Мащабът не е спазен.

Скица на пистата с дъга от окръжност и параболичната траектория на велосипедиста след излитането. — Илюстрация към задача 1: параболична траектория с далечина $L$ , време на полета $t$ и начална скорост $\vec{v}_0$ на височина $h$ ; пистата е дъга с радиус $R$ , чийто краен радиус сключва ъгъл $\alpha$ с вертикалата, а спускането започва от височина $H$ .

а) Тяло излита със скорост $v_0$ от височина $h$ под ъгъл $\beta$ спрямо хоризонталната равнина. Земното ускорение е $g$ . Получете формула за времето на полета $t$ [1,5 т.] и далечината на полета $L$ . [2 т.]

б) Велосипедист се спуска по писта, която завършва с участък с формата на дъга от окръжност с радиус $R$ . Радиусът от края на дъгата сключва ъгъл $\alpha$ с вертикалата. Велосипедистът се спуска от пистата от височина $H$ , а пистата свършва на височина $h$ над хоризонталната равнина. Масата на велосипедиста (заедно с велосипеда) е $m$ , инерчният му момент (заедно с велосипеда) спрямо центъра на масата и ос, перпендикулярна на чертежа, е $I$ . Инерчният момент на колелата се пренебрегва. Разстоянието между двете колела на велосипеда е много по-малко от $R$ . Получете формула за скоростта $v_0$ , с която велосипедистът ще излети от пистата. [2 т.]

в) При какви ъгли на завъртане $\varphi$ по време на полета велосипедистът ще се приземи едновременно с двете колела на велосипеда? [0,5 т.]

г) Получете условие за всички възможни височини на спускането $H$ , при които велосипедистът ще се приземи едновременно с двете колела. [2 т.]

д) Изчислете с точност 5 cm минималната височина $H$ , изпълняваща това условие при следните стойности: $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ , $\alpha = 60{,}0^\circ$ , $R = 10{,}00\ \mathrm{m}$ , $h = 5{,}00\ \mathrm{m}$ , $\frac{I}{mR^2} = 0{,}01$ . [2,5 т.]

е) За тази минимална височина изчислете $v_0$ [0,5 т.] и $L$ [0,5 т.]. [1 т.]

Отговори

Решение

а) Движението по вертикалата се описва с уравнението $0 = h + v_0\sin\beta\, t - \frac{1}{2}gt^2$ . [0,5 т.]

От него положителното решение за $t$ е

t = \frac{v_0\sin\beta + \sqrt{v_0{}^2\sin\beta^2 + 4\frac{1}{2}gh}}{2\cdot\frac{1}{2}g} = \frac{v_0\sin\beta}{g}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v_0{}^2\sin\beta^2}}\right).

[1,0 т.] Далечината на полета е $L = v_0\cos\beta\, t = \dfrac{v_0{}^2\sin\beta\cos\beta}{g}\left(1 + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v_0{}^2\sin\beta^2}}\right)$ . [0,5 т.]

б) От закона за запазване на механичната енергия, приложен за началния и крайния момент от движението по пистата, $mgH = mgh + \dfrac{mv_0^2}{2} + \dfrac{I\omega_0^2}{2}$ . [0,5 т.] Може да се съобрази, че линейната и ъгловата скорост на велосипедиста са свързани така: $v_0 = R\omega_0$ . [0,5 т.] Така получаваме $v_0 = \sqrt{\dfrac{2g(H-h)}{1+\dfrac{I}{mR^2}}}$ . [1,0 т.]

в) За да се приземи велосипедистът едновременно с двете колела на велосипеда, трябва да се завърти на ъгъл $\varphi_N = N2\pi - \alpha$ . [0,5 т.]

г) По време на движението по парабола велосипедистът продължава да се върти с ъгловата скорост, с която е напуснал пистата. Тогава $N2\pi - \alpha = \omega_0 t = \dfrac{v_0 t}{R}$ . [0,5 т.]

Използвайки по-горе получените формули за $v_0$ и $t$

N2\pi - \alpha = \frac{v_0^2\sin\alpha}{gR}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v_0{}^2\sin^2\alpha}}\right) = \frac{2h}{R\sin\alpha}\,\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2gh}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v_0{}^2\sin^2\alpha}}\right)

Нека $x = \dfrac{2gh}{v_0^2\sin^2\alpha}$ и $A_N = \dfrac{(2\pi N-\alpha)R\sin\alpha}{2h}$ . Тогава:

\frac{(2\pi N - \alpha)R\sin\alpha}{2h}x = A_Nx = 1 + \sqrt{1+x} \Rightarrow (A_Nx-1)^2 = 1 + x \Rightarrow x\big(A_N^2x - (2A_N+1)\big) = 0

\Rightarrow x_N = \frac{2A_N+1}{A_N^2}

От друга страна, $\dfrac{v_0^2}{2gh} = \left(1+\dfrac{I}{mR^2}\right)^{-1}\left(\dfrac{H}{h}-1\right)$ . И тогава:

H_N = h\left(1 + \frac{1}{x_N\sin^2\alpha}\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)\right)

\Rightarrow H_N = h\left(1 + \frac{A_N^2}{(2A_N+1)\sin^2\alpha}\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)\right),\; A_N = \left(\pi N - \frac{\alpha}{2}\right)\frac{R}{h}\sin\alpha

H_N = h\left(1 + \frac{\left(\pi N-\frac{\alpha}{2}\right)^2\left(\frac{R}{h}\right)^2}{(2\pi N-\alpha)\frac{R}{h}\sin\alpha + 1}\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)\right)

[1,5 т.]

Алтернативно решение:

Използвайки по-горе получените формули за $v_0$ и $t$ , $N2\pi - \alpha = \dfrac{v_0}{R}\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\left(1 + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v_0{}^2\sin\alpha^2}}\right)$

= \frac{2g(H-h)\sin\alpha}{\left(1+\frac{I}{mR^2}\right)gR}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{\frac{2g(H-h)}{1+\frac{I}{mR^2}}\sin\alpha^2}}\right).

[0,5 т.] Решавайки го неявно спрямо $H$ ,

H_N = h + \frac{(N2\pi-\alpha)R\left(1+\frac{I}{mR^2}\right)}{2\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\left(1+\sqrt{1+\frac{\left(1+\frac{I}{mR^2}\right)}{\left(\frac{H_N}{h}-1\right)\sin\alpha^2}}\right)}.

[1,0 т.]

д) Използвайки дадените стойности и за $N = 1$ след заместване $H_1 \approx 18{,}75$ m. [2,5 т.]

Алтернативно решение:

Използвайки дадените стойности и за $N = 1$ , се получава $H = 5 + \dfrac{30{,}53}{1+\sqrt{1+\frac{1{,}347}{\frac{H}{5}-1}}}$ . [0,5 т.] Пробвайки итерационен метод, започвайки примерно от $H(0) = 10$ m, получаваме $H(1) = 17{,}06$ m, [0,5 т.] $H(2) = 18{,}58$ m, [0,5 т.] $H(3) = 18{,}73$ m, [0,5 т.] $H(4) = 18{,}75$ m, [0,5 т.] $H(5) = 18{,}75$ m. Приемаме това за окончателен отговор. Ако започнем от по-висока стойност, примерно $H(0) = 30$ m, получаваме $H(1) = 19{,}36$ m, $H(2) = 18{,}80$ m, $H(3) = 18{,}75$ m, $H(4) = 18{,}75$ m. Получава се същата стойност.

е) Замествайки $v_0 = \sqrt{\dfrac{2g(H-h)}{1+\frac{I}{mR^2}}} = \sqrt{\dfrac{2.9{,}81(18{,}75-5)}{1{,}01}} \approx 16{,}3$ m/s. [0,5 т.] Съответно за

L = \frac{v_0{}^2\sin\beta\cos\beta}{g}\left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_0{}^2\sin\beta^2}}\right) = \frac{16{,}3^2\sqrt{3}}{9{,}81.4}\left(1+\sqrt{1+\frac{2.9{,}81.5}{16{,}3^2\,3/4}}\right) \approx 26{,}1\ \text{m.}

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2026_12problems.pdf · официални решения: esenni_2026_12solutions.pdf