НЕСФ 2025, Есенно състезание, Специална тема — Задача 1. Електростатика

Национално есенно състезание по физика, София, 7 – 9 ноември 2025 г. — Тема за VII състезателна група (Специална тема) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Част 1: Равновесие в статични полета [4,9 т.]

Естествен въпрос е дали може да се постави заряд в устойчиво равновесие в някакво електростатично поле. Отговорът е добре известен – теоремата на Ирншоу.

Полезна математика:

Разложение по ред на Маклорен: $f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2$

$\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}$

а) Докажете теоремата, която гласи, че не съществуват положения на устойчиво равновесие за даден произволен заряд в електростатично поле. [1,3 т.]

б) Оказва се, че теоремата на Ирншоу е приложима и за дипол с фиксирано направление (например винаги насочен по оста $x$), поставен във външно електростатично поле.

Като използвате резултата от предната подточка, докажете теоремата на Ирншоу и за дипол с фиксирана ориентация. [1,6 т.]

в) Когато малко тяло, съставено от диелектричен материал, се постави във външно електростатично поле $\vec{E}_{\mathrm{ext}}$, то се поляризира и може да се моделира като точков дипол с диполен момент $\vec{P} = \alpha\vec{E}_{\mathrm{ext}}$ за $\alpha = \beta\varepsilon_0\chi$, където $\alpha$ е поляризуемостта на тялото, $\chi = \varepsilon_r - 1$ е диелектричната възприемчивост, а $\beta$ е величина зависеща от формата и размерите на тялото.

Определете потенциалната енергия $W$ на такова тяло, изразена чрез външното поле $\vec{E}_{\mathrm{ext}}$ и поляризуемостта му $\alpha$. [0,7 т.]

г) Оказва се, че теоремата на Ирншоу е приложима и за малки тела, съставени от диелектричен материал – такива тела се намират в неустойчиво равновесие, независимо от направлението на отместване от равновесие.

Важи ли теоремата на Ирншоу за малки тела, съставени от магнитни материали? Възможна ли е магнитна левитация? [1,3 т.]

д) Част 2: Трептения [5,1 т.]

Тънък неподвижен непроводящ пръстен с радиус $R$ е зареден равномерно със заряд $q$. Точков заряд $q$ с маса $m$ е поставен в центъра на пръстена. Системата се намира във вакуум, далеч от други тела. Оста на пръстена съвпада с оста $z$, като $z = 0$ съвпада с равнината на пръстена, $r$ е разстоянието до оста, а $\theta$ е азимуталният ъгъл, т.е. изпозвани са цилиндрични координати.

Намерете електричното поле $\vec{E}(r,\theta,z)$, създадено от пръстена, в близост до центъра. Отговора дайте във вида $\vec{E} = (E_r, E_\theta, E_z)$, изразени чрез $r, z, \theta$ и други известни константи от условието, като $r, z \ll R$. [1 т.]

е) Малко отклонение в кое направление (радиално по $r$ или вертикално по $z$) води до хармонично трептене? Намерете периода $T$ на тези трептения. Покажете, че равновесието в центъра е неустойчиво. [0,5 т.]

ж) В центъра на полубезкраен плосък „кондензатор“ с ширина $l$ и разстояние между плочите $d$ е поставена малко тяло, съставено от диелектричен материал, с поляризуемост $\alpha$ и маса $m$ (положение 1 на фиг.1). Плочите на кондензатора приемете за непроводящи и равномерно заредени с повърхнинна плътност на заряда съответно $+\sigma$ и $-\sigma$.

Определете периода на малки трептения на частицата в хоризонтално направление. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, m, l, d$. Приемете, че $l \gg d$. [1,6 т.]

з) Тялото е поставено на единия край на кондензатора, равноотдалечено от двете плочи (положение 2 на фиг. 1).

Определете големината и посоката на силата $F$, действаща на тялото. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, l, d$. [0,5 т.]

и) В началния момент тялото е в покой на единия край на кондензатора (положение 2 на фиг. 1).

Ако $l \ggg d$, определете периода на възникналите трептения. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, m, l, d$. [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2026_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2026_STsolutions.pdf