Съдържание

Условие Част 1: Равновесие в статични полета (4,9 т.)Част 2: Трептения (5,1 т.)Решение

НЕСФ 2025, Специална тема — Задача 1. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Национално есенно състезание по физика, София, 7 – 9 ноември 2025 г. — Тема за VII състезателна група (Специална тема) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Лист за отговори

ВАЖНО! Всеки отговор трябва да е обоснован в работните листа. Необосновани верни отговори се оценяват с 0 точки!

Условие

Част 1: Равновесие в статични полета (4,9 т.)

Естествен въпрос е дали може да се постави заряд в устойчиво равновесие в някакво електростатично поле. Отговорът е добре известен – теоремата на Ирншоу.

а) Докажете теоремата, която гласи, че не съществуват положения на устойчиво равновесие за даден произволен заряд в електростатично поле. [1,3 т.]

Оказва се, че теоремата на Ирншоу е приложима и за дипол с фиксирано направление (например винаги насочен по оста $x$ ), поставен във външно електростатично поле.

б) Като използвате резултата от предната подточка, докажете теоремата на Ирншоу и за дипол с фиксирана ориентация. [1,6 т.]

Когато малко тяло, съставено от диелектричен материал, се постави във външно електростатично поле $\vec{E}_{\mathrm{ext}}$ , то се поляризира и може да се моделира като точков дипол с диполен момент $\vec{P} = \alpha\vec{E}_{\mathrm{ext}}$ за $\alpha = \beta\varepsilon_0\chi$ , където $\alpha$ е поляризуемостта на тялото, $\chi = \varepsilon_r - 1$ е диелектричната възприемчивост, а $\beta$ е величина зависеща от формата и размерите на тялото.

в) Определете потенциалната енергия $W$ на такова тяло, изразена чрез външното поле $\vec{E}_{\mathrm{ext}}$ и поляризуемостта му $\alpha$ . [0,7 т.]

Оказва се, че теоремата на Ирншоу е приложима и за малки тела, съставени от диелектричен материал – такива тела се намират в неустойчиво равновесие, независимо от направлението на отместване от равновесие.

г) Важи ли теоремата на Ирншоу за малки тела, съставени от магнитни материали? Възможна ли е магнитна левитация? [1,3 т.]

Част 2: Трептения (5,1 т.)

Тънък неподвижен непроводящ пръстен с радиус $R$ е зареден равномерно със заряд $q$ . Точков заряд $q$ с маса $m$ е поставен в центъра на пръстена. Системата се намира във вакуум, далеч от други тела. Оста на пръстена съвпада с оста $z$ , като $z = 0$ съвпада с равнината на пръстена, $r$ е разстоянието до оста, а $\theta$ е азимуталният ъгъл, т.е. изпозвани са цилиндрични координати.

д) Намерете електричното поле $\vec{E}(r,\theta,z)$ , създадено от пръстена, в близост до центъра. Отговора дайте във вида $\vec{E} = (E_r, E_\theta, E_z)$ , изразени чрез $r, z, \theta$ и други известни константи от условието, като $r, z \ll R$ . [1 т.]

е) Малко отклонение в кое направление (радиално по $r$ или вертикално по $z$ ) води до хармонично трептене? Намерете периода $T$ на тези трептения. Покажете, че равновесието в центъра е неустойчиво. [0,5 т.]

В центъра на полубезкраен плосък „кондензатор“ с ширина $l$ и разстояние между плочите $d$ е поставена малко тяло, съставено от диелектричен материал, с поляризуемост $\alpha$ и маса $m$ (положение 1 на фиг.1). Плочите на кондензатора приемете за непроводящи и равномерно заредени с повърхнинна плътност на заряда съответно $+\sigma$ и $-\sigma$ .

ж) Определете периода на малки трептения на частицата в хоризонтално направление. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, m, l, d$ . Приемете, че $l \gg d$ . [1,6 т.]

Тялото е поставено на единия край на кондензатора, равноотдалечено от двете плочи (положение 2 на фиг. 1).

з) Определете големината и посоката на силата $F$ , действаща на тялото. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, l, d$ . [0,5 т.]

В началния момент тялото е в покой на единия край на кондензатора (положение 2 на фиг. 1).

и) Ако $l \ggg d$ , определете периода на възникналите трептения. Отговора изразете чрез $\varepsilon_0, \alpha, \sigma, m, l, d$ . [1,5 т.]

Полезна математика:

Разложение по ред на Маклорен: $f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2$

$\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}$

Лист за отговори

Решение

Част 1: Равновесие в статични полета (4,9 т.)

а) Да разгледаме заряд $q$ поставен във външно електростатично поле $\vec{E}$ , който се намира в устойчиво равновесие в някаква точка, която без ограничение на общността можем да приемем за начало на координатната система. Това значи, че произволно малко отклонение на заряда води до появата на връщаща сила $q\vec{E}$ – сила, сочеща обратно към началото (равновесната точка), т.е. $q\vec{E} \cdot \vec{e}_r < 0$ . [0,4 т.] Нека без ограничение на общността приемем, че $q > 0$ и тогава $\vec{E} \cdot \vec{e}_r = E_r < 0$ .

Нека разгледаме малка сфера с център началото на координатната система. Понеже всяка точка от повърхността ѝ може да се счита за близка до началото, то по повърхността на сферата $E_r < 0$ . Следователно потокът на електричното поле през тази сфера е $\Phi_E < 0$ . [0,5 т.] Тогава от закона на Гаус следва, че в тази сфера има затворен ненулев заряд. Това е противоречие! [0,4 т.] Следователно, няма електростатично поле, в което да може да се постави заряд в устойчиво равновесие.

б) Реформулировка на горния резултат гласи, че електростатичният потенциал няма локални екстремуми. Например, ако имаше локален минимум, то потенциалната енергия на положителен заряд би имала минимум в същата точка, което е еквивалентно на устойчиво равновесие, а това противоречи на доказаната теорема. [0,4 т.]

Нека предположим, че диполът има диполен момент $\vec{p} = p\hat{p}$ и се намира в точка с радиус-вектор $\vec{r}$ . Нека външното електростатично поле е създадено от заряди $q_i$ , разположени в точки с радиус-вектори $\vec{r}_i$ . Тогава потенциалната енергия е [0,3 т.]:

W = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -(p\hat{p})\cdot\left(\sum_i \frac{kq_i(\vec{r}-\vec{r}_i)}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}\right) = \sum_i -(q_i\hat{p})\cdot\frac{k(-p)(\vec{r}_i-\vec{r})}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}

Вторият вид на $W$ има вид на потенциалната енергия на заряд с големина $-p$ в точка с радиус-вектор $\vec{r}$ , поставен в поле, създадено от диполи с моменти $\vec{p}_i = q_i\hat{p}$ , намиращи се в точки с радиус-вектори $\vec{r}_i$ . [0,5 т.] По теоремата на Ирншоу, този фиктивен заряд $-p$ няма как да е в устойчиво равновесие и следователно потенциалната му енергия няма екстремуми, т.е. $W$ няма екстремуми. Но $W$ е потенциалната енергия на дипол с фиксирана ориентация във външно поле. Следователно такъв дипол не може да е в равновесие във външно електрично поле. [0,4 т.]

в) Нека диелектричното тяло се намира в поле на заряд $q$ , поставен в началото на координатната система. Ако частицата има радиус-вектор $\vec{r}$ , то $\vec{p} = \alpha\vec{E} = \alpha E(r)\vec{e}_r$ . Силата, с която зарядът действа на частицата е $\vec{F} = p\frac{dE}{dr}\vec{e}_r = \alpha E E'\vec{e}_r$ . [0,2 т.] Тогава при радиално преместване с $dr$ се извършва работа $dA = \vec{F}\cdot\vec{e}_r\,dr = \alpha E E'\,dr = d\left(\frac{1}{2}\alpha E^2\right)$ , откъдето $dW = -dA = d\left(-\frac{1}{2}\alpha E^2\right) \Rightarrow W = -\frac{1}{2}\alpha E^2$ . [0,2 т.]

([0,3 т.] за идеята да се разгледа някакво просто нехомогенно поле)

г) Това, че теоремата на Ирншоу важи и за малки диелектрични тела, означава, че за електростатични полета $W = -\frac{1}{2}\alpha E^2$ няма локални минимуми. За диелектрици е вярно, че $\alpha = \beta\varepsilon_0\chi > 0$ . Тогава, тази формулировка на теоремата на Ирншоу е еквивалентна на твърдението, че $E^2$ няма локални максимуми. [0.4 т.]

Известно е, че магнитостатичните и електростатичните полета удовлетворяват еднакви закони (уравненията на Максуел се свеждат до уравнения за нулев поток (Гаус) и нулева циркулация на полетата). Ето защо следва, че и $B^2$ няма максимуми за магнитостатични полета. [0.4 т.]

За малка частица от магнитен материал следва да има аналогична формула за потнециалната енергия, а именно $W_m = -\frac{1}{2}\alpha_m B^2$ , където $B$ е магнитната индукция на магнитостатичното поле, $\alpha_m = \frac{\beta}{\mu_0\chi_m}$ , където $\chi_m$ е магнитната възприемчивост на материала. Оттук виждаме, че ако $\chi_m < 0$ , частицата би се намирала в устойчиво равновесие в точка с минимум на $B^2$ , т.е. в точка с $B = 0$ . Пример за такава точка е средата между два колинеарни магнитни дипола с противоположна ориентация. [0.5 т.] Т.е. магнитната левитация е възможна за диамагнитни материали ( $\chi_m < 0$ ).

Допълнение: Водата е добър диамагнит, което прави възможно магнитната левитация на живата материя. Това е направено в прочутия експеримент с левитиращата жаба.

Част 2: Трептения (5,1 т.)

д) Електростатичният потенциал по оста на пръстена е $\varphi = \frac{kq}{\sqrt{R^2+z^2}}$ . Тогава $E_z(z) = -\frac{\partial\varphi}{\partial z}$ , т.е. $E_z(z) = \frac{kqz}{(R^2+z^2)^{3/2}}$ . Заради симетрията на задачата, по оста $z$ интензитетът на полето ще бъде насочен по $z$ . Тогава $\vec{E}(0,z) = \frac{kqz}{(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{e}_z$ . [0.3 т.]

В близост до центъра, т.е. при $z \ll R$ имаме $\vec{E}(0,z) \approx \frac{kq}{R^3}z\vec{e}_z$ . Да разгледаме малък цилиндър с височина $z$ и радиус $r$ , чиято ос съвпада с оста на пръстена и чиято долна основа лежи в равнината на пръстена. Прилагаме закона на Гаус:

\Phi_E = E(0,z)(\pi r^2) + E_r(r,0)(2\pi r z) = 0 \Rightarrow E_r(r,0) = -\frac{kq}{2R^3}r

[0.3 т.] Така финално се получава $\vec{E}(r,z) = \frac{kq}{2R^3}(2\vec{z}-\vec{r}) = \left(-\frac{kqr}{2R^3}, 0, \frac{kqz}{R^3}\right)$ . [0.1 т.]

([0.3 т.] за идеята да се ползва закон на Гаус)

е) Силата, действаща на заряда е $\vec{F} = \left(-\frac{kq^2r}{2R^3}, 0, \frac{kq^2z}{R^3}\right)$ . Оттук се вижда, че отклонение в радиално направление предизвиква връщаща сила, пропорционална на отместването, а отклонение по оста на пръстена, води до сила, която се стреми да увеличи отклонението. Т.е. трептения ще възникнат при радиални отклонения и очевидно равновесието е неустойчиво, понеже отклонение по оста на пръстена не поражда връщаща сила. [0,2 т.] При отклонение в радиално направление се поражда сила, отговаряща на закона на Хук с твърдост на еквивалентната пружина $k_{eff} = \frac{kq^2}{2R^3}$ . Тогава периодът на тези колебания е [0,3 т.]:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = 2\pi\sqrt{\frac{2mR^3}{kq^2}}

ж) Ясно е, че заради симетрията, интензитетът на полето по оста $x$ е изцяло вертикално, т.е. нормално на двете плочи. [0,2 т.]

Да разгледаме заряди, разпределени равномерно върху плоска фигура $S$ с плътност $\sigma$ . Тогава нормалната компонента на интензитета на полето в някаква точка е

E_n = \int_S \frac{k\,dq}{r^2}\,\hat{r}\cdot\hat{n} = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\hat{r}\cdot\vec{dS}}{r^2} = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{dS_r}{r^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\frac{\Omega}{4\pi}

където $\Omega$ е телесният ъгъл, под който се вижда плоската фигура, гледано от точката, а $\Omega/4\pi$ има смисъл на частта от пространството, която заема тази фигура, гледано от точката.

В нашия случай, за едната плоча $\Omega/4\pi = \theta/2\pi$ , където $\theta$ е ъгълът, под който се вижда плочата. Като се отчете равният принос и от другата плоча се получава:

E_y = \frac{\sigma\theta}{\pi\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\left[\pi - \arctan\frac{\frac{d}{2}}{\frac{l}{2}-x} - \arctan\frac{\frac{d}{2}}{\frac{l}{2}+x}\right]

\Rightarrow E(x) = E_y(x) = \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\left[\pi - \left(\arctan\frac{d}{l-2x} + \arctan\frac{d}{l+2x}\right)\right]

[0,9 т.] Тогава, енергията на диелектричното тяло е

E_p = -\frac{1}{2}\alpha E^2 = -\frac{\alpha\sigma^2}{2\pi^2\varepsilon_0^2}\theta^2(x)

Около $x = 0$ имаме:

\theta^2(x) \approx \theta^2(0) + \left(\frac{d\theta^2}{dx}\right)_{x=0}x + \frac{1}{2}\left(\frac{d^2(\theta^2)}{dx^2}\right)_{x=0}x^2

\theta^2(x) \approx \theta^2(0) + 2\theta(0)\theta'(0)x + \left(\theta'^2(0) + \theta(0)\theta''(0)\right)x^2

С отчитане на $d \ll l$ , директно се получава, че

\theta(0) = \pi - 2\arctan\frac{d}{l} \approx \pi - \frac{2d}{l}\qquad \theta'(0) = 0 \qquad \theta''(0) = \frac{16dl}{(d^2+l^2)^2} \approx \frac{16d}{l^3}

\Rightarrow \theta^2(x) \approx \pi^2 - \frac{4\pi d}{l} - \frac{16\pi d}{l^3}x^2 \Rightarrow E_p \approx E_{p0} + \frac{8\alpha d\sigma^2}{\pi\varepsilon_0^2 l^3}x^2 = E_{p0} + \frac{1}{2}k_{eff}x^2

[0,4 т.] Където $k_{eff} = \frac{16\alpha d\sigma^2}{\pi\varepsilon_0^2 l^3}$ . Така, за периодът се получава [0,3 т.]:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0^2 m l^3}{\alpha\sigma^2 d}}

з) Силата, действаща на дипола, е $F = -E_p'\left(x = \frac{l}{2}\right) = \frac{\alpha\sigma^2}{\pi^2\varepsilon_0^2}\theta\left(\frac{l}{2}\right)\theta'\left(\frac{l}{2}\right)$ . [0,2 т.] Директно изчисление дава [0,3 т.]

\theta\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{d}{2l} \approx \frac{\pi}{2}

\theta'(x) = -\frac{16dlx}{(d^2+(l-2x)^2)(d^2+(l+2x)^2)} \Rightarrow \theta'\left(\frac{l}{2}\right) = -\frac{8dl^2}{d^2(4l^2+d^2)} \approx -\frac{2}{d}

\Rightarrow F = -\frac{\alpha\sigma^2}{\pi\varepsilon_0^2 d}

и) От закона за запазване на енергията следва:

0 + E_p\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}mv^2 + E_p(x) \Rightarrow v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left(E_p\left(\frac{l}{2}\right) - E_p(x)\right)}

Оттук, за периода се получава:

\frac{dx}{dt} = -\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\sqrt{\frac{\alpha}{m}}\sqrt{\theta^2(x)-\theta^2\left(\frac{l}{2}\right)} \Rightarrow \int_0^{\frac{T}{4}}dt = \frac{\pi\varepsilon_0}{\sigma}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\int_0^{\frac{l}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\theta^2(x)-\theta^2\left(\frac{l}{2}\right)}}

T = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\sigma}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\int_0^{\frac{l}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\theta^2(x)-\theta^2\left(\frac{l}{2}\right)}}

([0,5 т.] за идеята и [0,4 т.] за техническа част)

В границата на $d \ll l$ за $\theta(x)$ се получава:

\lim_{\frac{d}{l}\to 0}\theta(x) = \lim_{\frac{d}{l}\to 0}\left[\pi - \left(\arctan\frac{d/l}{1-2x/l} + \arctan\frac{d/l}{1+2x/l}\right)\right] = \begin{cases}\dfrac{\pi}{2}, & x = -\dfrac{l}{2}\\[4pt] \pi, & -\dfrac{l}{2} < x < \dfrac{l}{2}\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & x = \dfrac{l}{2}\end{cases}

([0,4 т.] за тази граница)

Следователно $\theta^2(x) - \theta^2\left(\frac{l}{2}\right) = \begin{cases}0, & x = -\frac{l}{2}\\ \frac{3\pi^2}{4}, & -\frac{l}{2} < x < \frac{l}{2}\\ 0, & x = +\frac{l}{2}\end{cases}$ . Така се получава [0,3 т.]:

T = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\sigma}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\int_0^{\frac{l}{2}}\frac{dx}{\sqrt{3\pi^2/4}} = \frac{4\varepsilon_0 l}{\sigma}\sqrt{\frac{m}{3\alpha}}

Справочни данни

$c=3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}$

$\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}$

$e=1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm C$

$h=6.63\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$

$1\ \mathrm{eV}=1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm J$

$m_e=9.1\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}$

$N_A=6.02\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$

Специална тема

Зад. 2, о) -- Резултатът трябва да е $I = 2.1 \times 10^{15}\ \mathrm{W/cm^2}$ .

Зад. 3, й) -- За урана $Z^2/A = 36.0$ , а не $28.7$ .

Оригинал в Архива: esenni_2026_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2026_STsolutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt · допълнителни данни: ST_ST_anssheet.pdf