НЕСФ 2025, Есенно състезание, Специална тема — Задача 2. Рентгенови лъчи

Национално есенно състезание по физика, София, 7 – 9 ноември 2025 г. — Тема за VII състезателна група (Специална тема) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

На 8. ноември 1895 г. Вилхелм Рьонтген наблюдавал за пръв път наречените на негово име рентгенови лъчи. По-късно той прави и първата рентгенова снимка на ръката на жена си, която заявява, че е видяла смъртта, когато я вижда за пръв път.

Рентгеновите лъчи (още известни като Х-лъчи) са тип електромагнитна (ЕМ) радиация с дължина на вълната от $0{,}01\ \mathrm{nm}$ – $10\ \mathrm{nm}$, която намира широко приложение в днешно време. В тази задача ще бъдат разгледани различни начини за получаване на рентгеново лъчение.

Упътване: Разполагате с помощна графиката на функцията $y = \cos x$, както и със спомагателна ос при $x = 2$, която е разграфена така, че точка с надпис $a$, е с координати $(2, \cos(a) + \sin(a)\,(a-2))$. Можете да използвате тази графика за построяване на допирателни към $y = \cos x$.

Ако се наложи да чертаете графика, може да използвате празното пространство на помощната графика.

Полезна математика:

$\text{За } x \ll 1: \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$

а) Част 1: Катодно-лъчева тръба [0,7 т.]

Рьонтген използва катодно-лъчева тръба, когато наблюдавал за пръв път рентгеновите лъчи. При нея отделени от анода електрони се ускоряват от ускоряващо напрежение $U$ и се „забиват“ в катода. При това, електронът изпитва голямо забавящо ускорение и следователно излъчва ЕМ лъчение, наречено спирачно лъчение (Bremsstrahlung). Полученият спектър на това лъчение има рязка граница при някаква минимална дължина на вълната $\lambda_{min}$.

Намерете минималната дължина на вълната $\lambda_{min}$. Определете минималното ускоряващо напрежение $U_{min}$, при което се наблюдават рентгенови лъчи. [0,6 т.]

б) Кохерентно ли е полученото по този начин лъчение? [0,1 т.]

в) Част 2: Лазер на свободни електрони (Free Electron Laser – FEL) [6,3 т.]

Лазерът на свободни електрони е един от най-широко използваните методи за генериране на къси интензивни кохерентни лазерни импулси на рентгенови лъчи с регулируема дължина на вълната. Той се състои от източник на електрони, линеен ускорител на електрони и т.нар. ондулатор (undulator).

Един тип ондулатор, с дължина $L$, се състои от две успоредни последователности от магнити с редуваща се ориентация. Така се получава напречно магнитно поле, чиято индукция се мени приблизително синусоидално по дължината на ондулатора:

$\vec{B}(z) = B_0\sin(k_u z)\,\vec{e}_y\ ,\qquad k_u = 2\pi/\lambda_u$

където $\lambda_u$ е пространственият период на подредбата от магнити в ондулатора (разстоянието между два последователни магнита с еднаква ориентация). Въвежда се параметър на ондулатора $K = \dfrac{eB_0}{m_e c k_u}$ .

Линейният ускорител ускорява електроните до състояние с Лоренцов фактор$^1$ $\gamma_0 \gg 1$, които преди да навлязат в ондулатора имат скорост, насочена под ъгъл спрямо оста на ондулатора (оста $z$). Така под въздействието на магнитното поле в ондулатора, електроните се движат надлъжно по оста $z$, като извършват и напречно трептеливо движение около нея.

Определете зависимостта на скоростта на електроните $v_x(z), v_z(z)$ вътре в ондулатора. Определете средната скорост $\bar{v}_z$ на движение по оста $z$. Отговорите изразете чрез $K, \gamma_0, k_u, z$.

$^1$ Лоренцов фактор $\gamma = 1\big/\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$ [1 т.]

г) Трептеливото движение на електроните води и до излъчване на ЕМ вълни. ЕМ поле на тези вълни извършва работа върху тези електрони, което обуславя механизма за обмен на енергия между електроните и лъчението, т.е. така се получава и усилването на лъчението.

С каква поляризация ще бъде полученото лъчение? [0,2 т.]

д) Нека някъде в ондулатора вече се е генерирало ЕМ лъчение с кръгова честота $\omega$ и дължина на вълната $\lambda_w$, като амплитудата на вектора на електричното поле е $E_0 \ll cB_0$, т.е. $E(z,t) = E_0\sin(k_w z - \omega t + \varphi_0)$, където $\varphi_0$ е някаква начална фаза и $k_w > 0$.

Намерете моментната мощност $P(z,t)$ на силата в момент от време $t$, с които това ЕМ лъчение действа на даден електрон намиращ се в точка $z$. Отговорът изразете, чрез $\theta_{\pm} = (k_w \pm k_u)z - \omega t + \varphi_0$ – това са сборът и разликата на фазите на ЕМ вълната и магнитното поле. [1 т.]

е) Като приемете, че $v_z \approx \bar{v}_z = const.$, намерете средната отдадена от електрона енергия за единица изминато разстояние $l$ в ондулатора $\left\langle \frac{dE}{dz}\right\rangle = \frac{\Delta E}{l}$. Резултата изразете, чрез $\theta_{\pm,0} = \theta_{\pm}(z_0)$ и $\Delta\theta_{\pm} = \theta_{\pm}(z_0+l) - \theta_{\pm,0}$. [0,8 т.]

ж) При фиксирани параметри на ондулатора и навлизащите електрони, се наблюдава резонансно поведение в увеличението на лъчение с дължина на вълната $\lambda_w = \lambda_r$. Изразете $\lambda_r$ чрез $\lambda_u, \gamma_0, K$, като приемете, че $\gamma_0 \gg 1$. [1 т.]

з) Колко трябва да бъде ускоряващото напрежение $U$ в линейният ускорител на FEL с ондулатор с $\lambda_u = 68\ \mathrm{mm}$ и $B_0 = 1.3\ \mathrm{T}$, за да се получи лазерно лъчение в областта на мекия рентген ($\lambda_w \sim 1\ \mathrm{nm}$)? [0,2 т.]

и) По време на работата на такъв лазер, се наблюдава явлението microbunching, при което електроните се сгъстяват на места и разреждат на други, като по този начин се разделят на групички, които се разпространяват в ондулатора. Така се постига кохерентността на лъчението.

Покажете, че при $\lambda_w = \lambda_r(\lambda_u, \gamma_0, K)$ електрон, преминаващ през ондулатора, има следните уравнения на движение:

$\frac{d\theta}{dz} = 2k_u\eta \qquad \frac{d\eta}{dz} = \frac{KE_0 e}{2\gamma_0^2 mc^2}\sin\theta$

където $\theta = \theta_+$ и $\eta = \frac{\gamma(z)}{\gamma_0} - 1$ носят информация за положението и скоростта на електрона. Приемете, че $\eta \ll 1$. [0,8 т.]

й) С помощта на класическа механична аналогия, опишете качествено движението на електроните през ондулатора спрямо ЕМ лъчение. Покажете, че електроните се струпват около точки с $\theta = \theta_{bunch}$ и определете разстоянието $\lambda$ между два съседни bunch-а. [1,3 т.]

к) Част 3: Генериране на високи хармоники [3 т.]

Лазерът на свободни електрони е ефективен метод за генериране на кохерентна рентгенова светлина, но същевременно представлява един огромен уред, който употребява и много енергия. Съществува и друг метод за генериране рентгенов лазер с помощта на нелинейния оптичен процес на генериране на високи хармоники. В тази област има и българска следа в лицето на проф. Теньо Попминчев и неговия екип, чиято работа на практика направи този подход прагматичен.

Генерирането на високи хармоники е нелинеен процес на взаимодействие на среда с лъчение с висока интензивност. При такова взаимодействие се поражда и светлина с честоти, кратни на фундаменталната честота $f$ (честотата на падащото монохроматично лъчение). Генерираната светлина с честота $nf$ наричаме $n$-та хармоника ($n \in \mathbb{N}$).

Да разгледаме монохроматично лъчение с кръгова честота $\omega$ и висок интензитет $I$, попадащо в среда от разреден благороден газ или водород. В този случай генерирането на високи хармоники се описва добре от т.нар. 3-стъпков модел:

1. Под въздействието на електричното поле на лъчението, електрон от външната обвивка на атом от газа тунелира. Така този атом претърпява тунелна йонизация. Приема се, че електронът се появява в покой непосредствено до точковия йон и че от този момент нататък той може да се счита за свободен.

2. Под действието на осцилиращото електрично поле на лъчението, свободният електрон бива ускорен надалеч от йона и след това ускорен обратно към йона.

3. Когато електронът отново стигне йона, те рекомбинират и се получава първоначалният неутрален атом, при което се отделя 1 фотон.

Добре е да се отбележи, че процесът описан горе започва с тунелната йонизация на електрон, която може да стане по всяко време, независимо от фазата на лъчението в този момент.

Оценете минималната интензивност $I_{min}$ на лазерното лъчение, при която е приложим моделът. Известно е, че връзката между амплитудата на интензитета на електричното поле и интензитета на светлината е $I = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E^2$. Приемете, че газът е водород. [0,5 т.]

л) Обяснете защо процесът на генерация на високи хармоники е неефективен, ако задвижващото лазерно лъчение е елиптично поляризирано. [0,4 т.]

м) При трептене на заредена частица със заряд $q$ и маса $m$ в хармонично електрично поле $E(t) = E_0\cos\omega t$, се въвежда величината пондеромоторен потенциал $U_p$, който се дефинира като средната кинетична енергия на този заряд.

Изразете $U_p$ чрез $m, q, \omega, E_0$. [0,4 т.]

н) Покажете, че максималната енергия на фотон от генерираните високи хармоники при описаният процес е $\varepsilon_{max} = U_i + \kappa U_p$, където $U_i$ е йонизационният потенциал на външния електрон, и определете $\kappa$ с точност до 1 знак след десетичната запетая. [1,5 т.]

о) Като използвате данните от фигурата, определете приблизително интензитета $I$ на използваните лазерни импулси. Известно е, че йонизационният потенциал за аргона е $15.8\ \mathrm{eV}$. [0,2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2026_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2026_STsolutions.pdf