НЕСФ 2025, Есенно състезание, Специална тема — Задача 3. Физика на ядрото

Национално есенно състезание по физика, София, 7 – 9 ноември 2025 г. — Тема за VII състезателна група (Специална тема) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Атомното ядро е съставено от протони и неутрони. Въпреки кулоновото отблъскване между протоните, ядрото остава свързано благодарение на остатъчното силно ядрено взаимодействие. Както електромагнитното взаимодействие си има своята частица преносител – фотонът, така и това взаимодействие има своята частица преносител – пион ($\pi$). За разлика от фотона, пионът има ненулева маса, което обяснава близкодействието на това взаимодействие.

Полезна математика:

$\text{За } x \ll 1:\qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 \qquad\qquad \arcsin x \approx x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40}$

Енергия на равномерно зареден елипсоид $\left(a = b < c\ ;\ e = \sqrt{1-\frac{a^2}{c^2}}\right)$:

$W = \frac{3kQ^2}{5\sqrt[3]{a^2c}}\,(1-e^2)^{\frac{1}{6}}\,\frac{\arcsin e}{e}$

Площ на елипсоид $\left(a = b < c\ ;\ e = \sqrt{1-\frac{a^2}{c^2}}\right)$:

$S = 2\pi(a^2c)^{\frac{2}{3}}\left[(1-e^2)^{\frac{1}{3}} + \frac{\arcsin e}{e(1-e^2)^{\frac{1}{6}}}\right]$

а) Ако масата на пиона е $m_{\pi} \approx 135\ \mathrm{MeV}/c^2$, оценете радиуса $r_{\pi}$ на действие на остатъчното силно ядрено взаимодействие. [0,9 т.]

б) Както е известно, масата на ядрото не е равна на сумата от масите на съставящите го частици. Разликата се нарича масов дефект.

Изразете масовия дефект $\Delta m = m_{\mathrm{я}} - \left(Zm_p + Nm_n\right)$ чрез енергията на свързване на ядрото $E_{\mathrm{св}} > 0$. [0,3 т.]

в) За да даде количествено обяснение на този дефект, през 1930 г. Георги Гамов предлага капков модел, според който ядрото се разглежда като капка от еднородна, несвиваема, равномерно заредена течност.

Покажете, че радиусът на ядрото се дава от $R = r_0 A^{1/3}$. Пресметнете $r_0$, ако е известно, че $R\left(^{210}_{\ 84}\mathrm{Po}\right) \approx 7.2\ \mathrm{fm}$. [0,4 т.]

г) През 1935г. Карл Вайцзекер получава полуемпиричната формула, базирана на този модел, която добре описва енергията на свързване на средни и тежки ядра. Тя включва 4 основни члена – обемен ($E_V$), повърхнинен ($E_S$), Кулонов ($E_C$) и асиметричен ($E_A$):

$E_{\mathrm{св}} = E_V + E_S + E_C + E_A = a_V f_V(Z,A) - a_S f_S(Z,A) - a_C f_C(Z,A) - a_A\frac{(N-Z)^2}{A}$

където функциите $f_{V,S,C}(Z,A)$ са от вида $Z^{\alpha}A^{\beta}$.

Обемният и повърхнинният терм са потенциалните енергии на остатъчното ядрено взаимодействие. Това взаимодействие е еднакво силно за протоните и неутроните. В този модел нуклоните на практика взаимодействат само със своите преки съседи, което е аналогично на взаимодействието на молекулите в една течност. По тази причина и тук се наблюдава явление подобно на повърхностното напрежение.

Имайки предвид полученото досега, аргументирайте се защо е добро приближение да се смята, че само съседните нуклони си взаимодействат чрез ядреното взаимодействие. [0,8 т.]

д) Намерете $f_V(Z,A)$ и $f_S(Z,A)$. [1,2 т.]

е) Кулоновият член представлява електростатичната потенциална енергия на ядрото.

Намерете $f_C(Z,A)$. Намерете и изчислете $a_C$. Стойността представете в MeV. [1,7 т.]

ж) Оттук нататък приемете $a_V = 15.8\ \mathrm{MeV}, a_S = 18.3\ \mathrm{MeV}, a_C = 0.71\ \mathrm{MeV}, a_A = 23.2\ \mathrm{MeV}$.

Мярка за стабилността на ядрата е средната енергия на свързване за нуклон, т.е. $E_{\mathrm{св}}/A$.

Намерете $Z$ за най-стабилно ядро с дадено масово число $A$. Покажете, че за леките елементи $Z \approx N$, а за тежките $Z < N$ и дайте качествено обяснение за това. [0,7 т.]

з) Оценете поредният номер $Z$ и масовото число $A$ на най-стабилните ядра. [0,9 т.]

и) През 1938 г. Отто Фриш и Фриц Щрасман наблюдават разпад на уран ($Z = 92$) до барий ($Z = 56$) и криптон ($Z = 36$) след бомбардиране с бавни неутрони. До тогава се е смятало за невъзможно да се отцепят толкова големи парчета от ядрото – особено от бавни неутрони. В края на същата година Лиза Майтнер (родена на 9. ноември) и Отто Хан обясняват процеса чрез капковия модел като следствие от предизвиканото от неутрона разтрептяване на капката и последващото ѝ разделяне.

Като разгледате слабо деформирано ядро по капковия модел, покажете, че за ядра с $Z^2/A \gtrsim C$ сферичната капка е в неустойчиво равновесие и ядрото спонтанно се разпада. Изразете критичната стойност $C$ чрез $a_S$ и $a_C$ и я изчислете. Пренебрегнете асиметричния член в полуемпиричната формула. [2,4 т.]

й) Разпада ли се спонтанно $^{235}_{\ 92}\mathrm{U}$ според този модел? [0,2 т.]

к) Разпадът на уран-235, предизвикан от неутрон, е $n + ^{235}_{\ 92}\mathrm{U} \to\ ^{141}_{\ 56}\mathrm{Ba} + ^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3n$ .

Определете енергията $Q$, която се е отделила при детонацията на атомната бомба „Little Boy“ (Хирошима). Известно е, че само $0.9\ \mathrm{kg}$ уран-235 е претърпял разпад. Отговора представете в единици килотон тротил kt, където $1\ \mathrm{kt} = 4.2\cdot 10^{12}\ \mathrm{J}$. Пренебрегнете енергията на отделилите се неутрони.

Забележка: Бомбата всъщност е имала общо 51kg уран-235!!! [0,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2026_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2026_STsolutions.pdf