Съдържание

НЕСФ 2025, 11. клас — Задача 3. Движение по окръжност.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Есенно национално състезание по физика, София, 07 – 09.11.2025 г. — Тема 11. клас (Пета възрастова група) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Хоризонтална кръгова платформа с радиус $r$ се върти с постоянна ъглова скорост $\omega$ около вертикална ос, минаваща през центъра ѝ. Върху платформата се намират стрелец с лък и мишена, в която той насочва стрела със скорост $v$ спрямо лъка. Разгледайте следните два случая:

Действието на силата на тежестта върху стрелата се пренебрегва.

а) Стрелецът се намира в центъра на платформата, а мишената в т. A от периферията на платформата (фиг. 3, поглед отгоре). Под какъв ъгъл $\theta_1$ спрямо отсечката OA трябва да бъде изстреляна стрелата, за да попадне в мишената? [5 т.]

Кръгова платформа, гледана отгоре, с център O, точка A на периферията, вектор на скоростта v под ъгъл тета1 спрямо OA и стрелка за посоката на въртене омега. — Фиг. 3. Поглед отгоре: платформата с радиус $r$ се върти с ъглова скорост $\omega$ ; стрелата се изстрелва от центъра $O$ под ъгъл $\theta_1$ спрямо отсечката $OA$ .

б) Стрелецът и мишената сменят местата си – мишената се поставя в центъра, а стрелецът се намира в т. A. Под какъв ъгъл $\theta_2$ спрямо отсечката AO трябва да бъде насочена стрелата, за да попадне в мишената? [5 т.]

Отговори

Решение

а) В този случай стрелецът е неподвижен, а мишената се движи (фиг. 2,а). [0,5 т.] Стрелата достига периферията на платформата за време $t = r/v$ . [0,5 т.] За това време мишената ще се премести от т. A в т. $A_1$ по дъга с дължина $l$ [0,5 т.], на която съответства централен ъгъл $\theta_1 = l/r$ . [1 т.] Следователно стрелата трябва да бъде насочена под ъгъл $\theta_1$ [0,5 т.], като за времето $t$ е в сила и равенството $t = l/\omega r = \theta_1/\omega$ [1 т.], т.е. получаваме $\theta_1 = \omega t = \omega r/v$ . [1 т.]

б) В разглеждания случай точката, в която стои стрелецът, се движи със скорост $\vec{v}_A$ , която има големина $v_A = \omega r$ [0,5 т.] и е насочена по допирателната към периферията на платформата (фиг. 2,б). [0,5 т.] Стрелата се изстрелва със скорост $\vec{v}$ спрямо платформата, така че нейната резултантна скорост спрямо Земята е

\vec{v}\,{}' = \vec{v}_A + \vec{v}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Стрелата ще попадне в мишената, ако векторът $\vec{v}\,{}'$ е насочен към нея, т.е. към т. O. [0,5 т.]

Тъй като векторът $\vec{v}_A$ е перпендикулярен на отсечката AO [0,5 т.], определяме

\sin\theta_2 = \frac{v_A}{v} = \frac{\omega r}{v} \le 1.\qquad \textbf{[1 т.]}

Този резултат показва, че стрелата ще попадне в мишената при зададени $r$ и $v$ , ако ъгловата скорост на платформата е

\omega \le \omega_{\max} = \frac{v}{r}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Две кръгови платформи, гледани отгоре: вляво случай а с ъгъл тета1 и дъгата от A до A1, вдясно случай б с векторите v_A, v и v' при точка A. — Фиг. 2 (решение). а – стрелецът е в центъра $O$ и мишената се премества от $A$ в $A_1$ ; б – стрелецът е в т. $A$ и се движи със скорост $\vec{v}_A$ , а резултантната скорост $\vec{v}\,{}'$ е насочена към центъра.

Оригинал в Архива: esenni_2026_11problems.pdf · официални решения: esenni_2026_11solutions.pdf