НЕСФ 2025, 9. клас — Задача 2. Подскачаща топка

А) За доказателство, че $t_1 = t_2$ (1 т).

За доказателство на $v^2 - v_0^2 = 2aS$ (2 т)

Б) Топката се издига над височината на наблюдателя. Ще разгледаме няколко интервала от движението на топката.

1. Разстоянието $l$ първоначално намалява от $\sqrt{a^2 + h^2}$ до $a$.

2. След това се увеличава от $a$ до $\sqrt{a^2 + (H - h)^2}$.

3. След това пак намалява от $\sqrt{a^2 + (H - h)^2}$ до $a$

4. След това пак нараства от $a$ до $\sqrt{a^2 + h^2}$.

(за направения анализ – 1 т)

От графиката и чертежа е видно, че:

$l_0 = \sqrt{a^2 + h^2},\ \ l_1 = \sqrt{a^2 + (H - h)^2}$ (0,5 т)

Лесно намираме:

$a = l_2$, (0,5 т)

В) $h = \sqrt{l_0^2 - a^2} = \sqrt{l_0^2 - l_2^2}$ (1,5 т)

и

$H = h + \sqrt{l_1^2 - a^2} = \sqrt{l_0^2 - l_2^2} + \sqrt{l_1^2 - l_2^2}$ (1,5 т)

Г) Началната скорост на топката може да бъде намерена от израза $S = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$:

$v_0 = \sqrt{2gH}$ (1 т)

$v_0 = \sqrt{2g\left(\sqrt{l_0^2 - l_2^2} + \sqrt{l_1^2 - l_2^2}\right)}$ (1 т)